1東邦大学 2011年 数学 第1問解答・解説

東邦大学 2011年度 第1問

問題ID: MM-7d067300fe21-Q1

(1)

共有点では $y=x^2+k$ かつ $x^2-y^2=1$ なので、$x^2=y-k=y^2+1$。従って $y$ は $$y^2-y+k+1=0$$ を満たす。逆に、この二次方程式の実数解 $y$ に対し $x=\pm\sqrt{y^2+1}$ とすれば、二曲線の共有点になる。この $x$ は常に実数で、同じ $y$ から異なる二つの点が得られる。異なる $y$ は異なる点を与えるので、共有点がちょうど2個となるのは $y$ の二次方程式が重解をもつときに限る。 $$1-4(k+1)=0$$ より $\displaystyle k=-\frac34$。このとき $\displaystyle y=\frac12$、$\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt5}{2}$ であり、実際に共有点は2個。答え：$\displaystyle k=-\frac34$。

(2)

$\vec m=(\vec a+\vec b+\vec c)/3$ とおく。任意の $\vec x$ について $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{\vec p\in\{\vec a,\vec b,\vec c\}}|\vec p-\vec x|^2 &=\sum\limits _{\vec p}|(\vec p-\vec m)+(\vec m-\vec x)|^2\\ &=\sum\limits _{\vec p}|\vec p-\vec m|^2+3|\vec m-\vec x|^2 \end{aligned}$$ となる。交差項は $\displaystyle \sum\limits _{\vec p}(\vec p-\vec m)=\vec0$ なので消える。従って最小値は $\vec x=\vec m$ のときに限り得られる。成分を計算すると $$\displaystyle \vec m=\left(\frac{4-1-9}{3},\frac{7-3+8}{3}\right)=(-2,4).$$ 答え：$(-2,4)$。

(3)

$x,y>0$ より二つの項も正であり、相加相乗平均から $$\displaystyle \frac{2y}{5x}+\frac{x}{2y} \geq2\sqrt{\frac{2y}{5x}\cdot\frac{x}{2y}} =\frac{2}{\sqrt5}.$$ 最小値をとる条件は二項が等しいこと、すなわち $4y^2=5x^2$。正であることから $x/y=2/\sqrt5$。よって $$\displaystyle \frac{5x}{2x-\sqrt5\,y} =\frac{5(2/\sqrt5)}{2(2/\sqrt5)-\sqrt5} =\frac{2\sqrt5}{-1/\sqrt5}=-10.$$ 答え：$-10$。

(4)

$y=f(x)$ として解くと $$\displaystyle y(kx-1)=3kx+2,\qquad x=\frac{y+2}{k(y-3)}.$$ $k\neq0$ だから $$\displaystyle f^{-1}(z)=\frac{z+2}{k(z-3)}.$$ 従って、共通の定義域で $$\displaystyle f^{-1}(-x)=\frac{x-2}{k(x+3)},\qquad -f(x)=-\frac{3kx+2}{kx-1}.$$ 両辺が恒等的に等しい条件は $$(x-2)(kx-1)=-k(x+3)(3kx+2).$$ 係数を比べると $$k+3k^2=0,\qquad 9k^2-1=0,\qquad 2+6k=0.$$ $k\neq0$ も合わせ、定数項の式から $k=-1/3$。この値を代入すると上の恒等式が成立し、両辺の定義域も $x\neq-3$ で一致する。答え：$\displaystyle k=-\frac13$。

(5)

定義域は $x>0$。$t=\log_2x$ と置けば $x=2^t$ で、 $$x^{3+2\log_2x}=2^{t(3+2t)}.$$ また $4^{27}=2^{54}$ だから $$2t^2+3t=54,\qquad 2t^2+3t-54=(2t-9)(t+6)=0.$$ 従って $t=9/2$ または $t=-6$ であり、対応する解は $x=2^{9/2}=16\sqrt2$ と $x=2^{-6}=1/64$。最小の解は $1/64$。

(6)

$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx$ とする。置換 $\displaystyle u=\frac{\pi}{2}-x$ により $$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx.$$ 二式を加えると $$\displaystyle 2I=\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2},$$ 従って $\displaystyle I=\frac{\pi}{4}$。答え：$\displaystyle \frac14\pi$。

(7)

正三角形の内接円 $O_1$ の半径は $$\displaystyle r_1=\frac{\text{面積}}{\text{半周長}} =\frac{\sqrt3/4}{3/2}=\frac{\sqrt3}{6}.$$ 頂点 $A$ の角は $60^\circ$。この角の二等分線上で、両辺に接する円の半径を $r$、中心から $A$ までの距離を $d$ とすると $r=d\sin30^\circ=d/2$、従って $d=2r$。図のように $O_n$ は $O_{n-1}$ と $A$ の間にある小さい円なので、中心間距離は $2(r_{n-1}-r_n)$。外接条件から $$\displaystyle 2(r_{n-1}-r_n)=r_{n-1}+r_n,\qquad r_n=\frac13r_{n-1}.$$ 従って $S_n=\pi r_1^2(1/9)^{n-1}$。等比級数の和は $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n =\frac{\pi r_1^2}{1-1/9} =\frac{\pi}{12}\cdot\frac98 =\frac{3\pi}{32}.$$ 答え：$\displaystyle \frac{3}{32}\pi$。

(8)

$q(x)=x^2+2(a-2)x+a$ とおく。端点では $$q(0)=a,\qquad q(1)=3a-3.$$ また $$q(x)=(1-x)q(0)+xq(1)-x(1-x)$$ なので、$0\leq x\leq1$ では $\displaystyle q(x)\leq\max(q(0),q(1))$。従って $q(x)\leq2$ の必要十分条件は $$a\leq2,\qquad 3a-3\leq2,$$ すなわち $a\leq5/3$。

下限を調べる。もし $a\leq1$ なら $$q'(x)=2(x+a-2)\leq2(a-1)\leq0\quad(0\leq x\leq1),$$ ゆえに最小値は $q(1)=3a-3$。これが非負となるには $a\geq1$ が必要なので、この場合は $a=1$ のみ。次に $1<a\leq5/3$ なら頂点 $x=2-a$ は $0\le x\le1$ の範囲にあり、 $$q(2-a)=a-(a-2)^2=(a-1)(4-a)>0.$$ よってこの範囲では下限も満たす。結論は $$\displaystyle 1\leq a\leq\frac53.$$ 答え：$\displaystyle 1\leq a\leq\frac53$。

(9)

$\displaystyle \overrightarrow{MN}=\frac12(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE})$。二つのベクトルの長さは $7,3$ で、なす角は $\angle A=2\pi/3$（両ベクトルを同時に反転しても角は変わらない）。従って $$\displaystyle \begin{aligned} MN^2 &=\frac14\left(7^2+3^2+2\cdot7\cdot3\cos\frac{2\pi}{3}\right)\\ &=\frac14(49+9-21)=\frac{37}{4}. \end{aligned}$$ よって $\displaystyle MN=\frac{\sqrt{37}}{2}$。

(10)

行列が逆行列をもたない条件は $ad-bc=0$。すべての成分が相異なる全配列数は $$9\cdot8\cdot7\cdot6=3024.$$ 逆行列をもたないものを数える。$ad=bc$ なら、正の整数 $a,b,c,d$ の二つの行 $(a,b),(c,d)$ は同じ比をもつ。比を既約な順序対 $(p,q)$（$p\neq q$）にして $$(a,b)=s(p,q),\qquad(c,d)=t(p,q)$$ と書ける。ここで $s,t$ は正整数で、$\displaystyle 1\leq s,t\leq K=\lfloor9/\max(p,q)\rfloor$。また、四成分相異なるには $s\neq t$ かつ $sp\neq tq,\ sq\neq tp$ が必要である。$K=1$ なら異なる $s,t$ がないため、$\displaystyle \max(p,q)\leq4$ だけを数えればよい。

順序を区別した既約対と各対当たりの許容 $(s,t)$ 数は次の通り。 $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c} \max(p,q)&(p,q)&K&\text{許容数／対}\\ \hline 2&(1,2),(2,1)&4&8\\ 3&(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)&3&4\\ 4&(1,4),(4,1),(3,4),(4,3)&2&2 \end{array}$$ 除外する組を具体的に数える。比 $1:2$ または $2:1$ では $K=4$ で、$s\neq t$ の12組のうち $sp=tq$ または $sq=tp$ となる $(s,t)=(2,1),(4,2),(1,2),(2,4)$ の4組を除くため、各方向で8組。比 $1:3$ または $3:1$ では $K=3$ で、6組から $(3,1),(1,3)$ を除き、各方向で4組。比 $2:3$ または $3:2$ では同じく6組から $(3,2),(2,3)$ を除き、各方向で4組。$K=2$ の比 $1:4,4:1,3:4,4:3$ では交差成分が等しくなる組はなく、各方向の2組が残る。従って逆行列をもたず四成分が相異なる配列数は $$2\cdot8+4\cdot4+4\cdot2=40.$$ したがって逆行列をもつ行列は $$3024-40=2984$$ 通り。答え：$2984$ 通り。

最終答案

$$\displaystyle \boxed{(1)\ -\frac34}$$ $$\boxed{(2)\ (-2,4)}$$ $$\boxed{(3)\ -10}$$ $$\displaystyle \boxed{(4)\ -\frac13}$$ $$\displaystyle \boxed{(5)\ \frac1{64}}$$ $$\displaystyle \boxed{(6)\ \frac\pi4}$$ $$\displaystyle \boxed{(7)\ \frac{3\pi}{32}}$$ $$\displaystyle \boxed{(8)\ 1\leq a\leq\frac53}$$ $$\displaystyle \boxed{(9)\ \frac{\sqrt{37}}2}$$ $$\boxed{(10)\ 2984}$$

使用解法

二次方程式の判別式、平方和の平均化、相加相乗平均、逆関数の計算、対数置換、積分の対称性、接円の相似な位置関係、二次関数の区間内最大最小、ベクトルの中点と内積、行列式と既約比による場合分けを用いた。