2新潟大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1) 三角形の重心の位置ベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c}{3}$$ である。$g=\overrightarrow{OG}$ とおくと、 $$\overrightarrow{AG}=g-\overrightarrow a,\quad \overrightarrow{BG}=g-\overrightarrow b,\quad \overrightarrow{CG}=g-\overrightarrow c.$$ したがって条件式の左辺は $$\begin{aligned} 4\overrightarrow{AG}+3\overrightarrow{BG}+5\overrightarrow{CG} &=4(g-\overrightarrow a)+3(g-\overrightarrow b)+5(g-\overrightarrow c)\\ &=12g-(4\overrightarrow a+3\overrightarrow b+5\overrightarrow c). \end{aligned}$$ これが $12\overrightarrow{OG}=12g$ に等しいので、 $$\boxed{4\overrightarrow a+3\overrightarrow b+5\overrightarrow c=\overrightarrow0}.$$

(2) $x=\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b$、$y=\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c$、$z=\overrightarrow c\cdot\overrightarrow a$ とおく。(1)のベクトル等式の両辺に順に $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ を内積すると、各ベクトルの長さが5であることから $$3x+5z=-100,\qquad 4x+5y=-75,\qquad 4z+3y=-125$$ を得る。最初の二式から $$5z=-100-3x,\qquad 5y=-75-4x.$$ これらを三つ目の式に代入して5倍すると $$4(-100-3x)+3(-75-4x)=-625,$$ よって $x=0$。したがって $y=-15,\ z=-20$ であり、 $$\boxed{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0,\quad \overrightarrow b\cdot\overrightarrow c=-15,\quad \overrightarrow c\cdot\overrightarrow a=-20}.$$

(3) 重心の位置ベクトルと(2)を用いて $$\begin{aligned} 9|\overrightarrow{OG}|^2 &=|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c|^2\\ &=|\overrightarrow a|^2+|\overrightarrow b|^2+|\overrightarrow c|^2 +2(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b+ \overrightarrow b\cdot\overrightarrow c+ \overrightarrow c\cdot\overrightarrow a)\\ &=75+2(0-15-20)=5. \end{aligned}$$ 長さは正なので $$\displaystyle \boxed{|\overrightarrow{OG}|=\frac{\sqrt5}{3}}.$$