3宮崎大学 2009年 数学 第3問解答・解説

点 $C$ を基準にすると、$\overrightarrow{CA}=\vec a$、$\overrightarrow{CB}=\vec b$ である。

(1) $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ だから、 $$AB^2=(\vec b-\vec a)\cdot(\vec b-\vec a) =|\vec b|^2+|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b =4+1-1=4.$$ よって $AB=2$。

(2) AからBCに引いた角の二等分線とBCとの交点をD、BからCAに引いた角の二等分線とCAとの交点をEとする。角の二等分線定理より $$BD:DC=AB:AC=2:1,\qquad AE:EC=AB:BC=2:2=1:1,$$ したがって $\displaystyle \overrightarrow{CD}=\frac13\vec b$、$\displaystyle \overrightarrow{CE}=\frac12\vec a$。IはAD上にあるので、ある実数uに対して $$\displaystyle \overrightarrow{CI}=(1-u)\vec a+\frac{u}{3}\vec b.$$ またIはBE上にあるので、ある実数vに対して $$\displaystyle \overrightarrow{CI}=\frac v2\vec a+(1-v)\vec b.$$ 係数を比較すると $1-u=v/2$、$u/3=1-v$ であり、$u=3/5$、$v=4/5$。ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow{CI}=\frac25\vec a+\frac15\vec b, \qquad \overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CI} =\frac25\vec a-\frac45\vec b.$$

(3) $\theta=\angle ACB$ とすると $\cos\theta=1/4$。$\theta$ は三角形の内角なので $\sin\theta=\sqrt{15}/4$。したがって面積は $$\displaystyle [ABC]=\frac12|\vec a||\vec b|\sin\theta=\frac{\sqrt{15}}4.$$ 半周長は $(1+2+2)/2=5/2$。面積が半周長と内接円半径rの積になることから $$\displaystyle r=\frac{[ABC]}{5/2}=\frac{\sqrt{15}}{10}.$$

答え

$$\displaystyle AB=2,\qquad \overrightarrow{BI}=\frac25\vec a-\frac45\vec b,\qquad r=\frac{\sqrt{15}}{10}.$$