1宮崎大学 2009年 数学 第1問解答・解説

(1) 加法定理より $$\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x,\qquad \cos x+\cos3x=2\cos2x\cos x.$$ 与式を整理すると $$(1+2\cos x)(\sin2x-\cos2x)=0.$$ $0\le x\le\pi$ で第1因子が0となるのは $x=2\pi/3$。第2因子については $0\le2x\le2\pi$ なので $2x=\pi/4$ または $5\pi/4$、すなわち $x=\pi/8,5\pi/8$。いずれも元の積の式を満たす。

(2) $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ と因数分解する。$n$ は奇数だから $n-1,n+1$ は偶数で、その一方は4の倍数。従って $(n-1)(n+1)$ は8の倍数。また連続する3整数 $(n-1),n,(n+1)$ のいずれかは3の倍数。8と3は互いに素なので、積 $n^3-n$ は24の倍数である。