5東京大学 2010年 数学 第5問解答・解説

円を半径 $1$ とする。点 $A$ を始点とする角度を $0$ と置くと、時刻 $t$ における各点の偏角は $$\theta_P\equiv mt,\qquad \theta_Q\equiv t,\qquad \theta_R\equiv-2t\pmod{2\pi}.$$

$PR$ を斜辺とする直角三角形であるための必要十分条件は、円周上の $P,R$ が直径の両端にあることである。したがって、ある整数 $k$ に対して $$\theta_P-\theta_R\equiv\pi\pmod{2\pi}, \qquad (m+2)t=(2k+1)\pi. \tag{1}$$ また、$PR$ が直径のとき、$PQ=QR$ となるのは $Q$ が $P,R$ を端点とするいずれかの半円弧の中点にあるときである。偏角では $$2\theta_Q\equiv\theta_P+\theta_R\pmod{2\pi}, \qquad (4-m)t=2\ell\pi \tag{2}$$ となる整数 $\ell$ があることと同値である。

(1)を(2)に代入すると $$(4-m)(2k+1)=2\ell(m+2).$$ 右辺は偶数なので $m$ は偶数である。$m=2r$ と書けば $$(2-r)(2k+1)=2\ell(r+1).$$ 右辺は偶数であり $2k+1$ は奇数だから $2-r$ は偶数、従って $r$ は偶数である。よって $m$ は $4$ の倍数であり、$1\le m\le10$ より $m=4$ または $m=8$ である。

$m=4$ のとき、(2)は常に成り立ち、(1)は $$6t=(2k+1)\pi.$$ $0\le t\le2\pi$ より $2k+1=1,3,5,7,9,11$ となり、 $$\displaystyle t=\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2},\frac{11\pi}{6}.$$

$m=8$ のとき、(2)から $t=j\pi/2$（整数 $j$）であり、$0\le t\le2\pi$ より $j=0,1,2,3,4$ である。(1)は $10t=5j\pi=(2k+1)\pi$ だから $j$ は奇数であり、$j=1,3$、すなわち $t=\pi/2,3\pi/2$ である。これらの時刻は両条件を満たし、求める組は上記の8組である。