2東京大学 2010年 数学 第2問解答・解説

(1) $k$ は正の自然数とする。$0<x<1$ では $k<k+x<k+1$ かつ $1-x>0$ だから $$\displaystyle \frac{1-x}{k+1}<\frac{1-x}{k+x}<\frac{1-x}{k}.$$ これを $0$ から $1$ まで積分する。不等式は区間の内部で厳密なので $$\displaystyle \frac{1}{2(k+1)}=\int_0^1\frac{1-x}{k+1}\,dx <\int_0^1\frac{1-x}{k+x}\,dx <\int_0^1\frac{1-x}{k}\,dx=\frac{1}{2k}.$$

(2) $m>n$ は正の自然数とし、 $$\displaystyle D=\log\frac mn-\sum\limits _{k=n+1}^{m}\frac1k$$ とおく。対数の積分表示を区間ごとに分けると $$\displaystyle \begin{aligned} D&=\sum\limits _{j=n}^{m-1}\left(\int_j^{j+1}\frac{dt}{t}-\frac1{j+1}\right)\\ &=\sum\limits _{j=n}^{m-1}\int_0^1\left(\frac1{j+x}-\frac1{j+1}\right)dx\\ &=\sum\limits _{j=n}^{m-1}\frac1{j+1}\int_0^1\frac{1-x}{j+x}\,dx. \end{aligned}$$ ここで(1)を各 $j$ に適用すると $$\displaystyle \frac1{2(j+1)^2}<\frac1{j+1}\int_0^1\frac{1-x}{j+x}\,dx<\frac1{2j(j+1)}.$$ また $\displaystyle \dfrac1{(j+1)^2}>\dfrac1{(j+1)(j+2)}$ である。したがって和をとり、隣接する逆数の差に直せば $$\displaystyle \begin{aligned} D&>\frac12\sum\limits _{j=n}^{m-1}\frac1{(j+1)(j+2)} =\frac12\left(\frac1{n+1}-\frac1{m+1}\right) =\frac{m-n}{2(m+1)(n+1)},\\ D&<\frac12\sum\limits _{j=n}^{m-1}\frac1{j(j+1)} =\frac12\left(\frac1n-\frac1m\right) =\frac{m-n}{2mn}. \end{aligned}$$ よって所要の狭義不等式が成り立つ。