2福井大学 2010年 数学 第2問解答・解説

(1) 便宜上，ゲーム開始時の確率を $a_0=1$ とする。次の回に $A$ にいるのは「今 $A$ にいて表」または「今 $B$ にいて裏」なので $$a_{n+1}=pa_n+(1-p)(1-a_n)=(2p-1)a_n+1-p.$$ $r=2p-1$ とおくと $a_{n+1}-1/2=r(a_n-1/2)$。初期値より $$\displaystyle \boxed{a_n=\frac{1+(2p-1)^n}{2}}.$$ これは端の場合 $p=0,1$ も含めて成り立つ。

(2) 期待値の定義から $$E_k=3ka_k+k(1-a_k)=k(1+2a_k)=2k+kr^k.$$ 従って $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^nE_k=n(n+1)+T_n$，ただし $\displaystyle T_n=\sum\limits _{k=1}^nkr^k$。 $rT_n$ を引いて $$\displaystyle (1-r)T_n=r+r^2+\cdots+r^n-nr^{n+1} =\frac{r(1-r^n)}{1-r}-nr^{n+1}.$$ $0<p<1$ では $r\ne1$ なので $$\displaystyle \boxed{\sum\limits _{k=1}^nE_k=n(n+1)+ \frac{r\{1-(n+1)r^n+nr^{n+1}\}}{(1-r)^2},\qquad r=2p-1}.$$ すなわち式中の $r$ を $2p-1$，分母を $4(1-p)^2$ とすれば $n,p$ のみの式になる。$p=1/2$ では追加項が0となり $n(n+1)$ を得る。

(3) $n$ を固定すると $f_n(p)=\{1+(2p-1)^n\}/2$ は連続な多項式。 $0\le x\le1$ の範囲を幅 $1/m$ に分ける区分求積を使えば $$\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{m\to\infty}\frac1m\sum\limits _{k=1}^m f_n\left(\frac{k}{2m}\right) &=\int_0^1\frac{1+(x-1)^n}{2}\,dx\\ &=\boxed{\frac12+\frac{(-1)^n}{2(n+1)}}. \end{aligned}$$