1福井大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) $\overrightarrow{OD}=\lambda\vec b$ とすると，$DA\perp OB$ より $(\vec a-\lambda\vec b)\cdot\vec b=0$。従って $\lambda=4/5$。 同様に $\overrightarrow{OE}=\vec b/5$ なので $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{DA}=\vec a-\frac45\vec b,\qquad \overrightarrow{EC}=\vec c-\frac15\vec b}.$$

(2) $\vec u=\overrightarrow{DA}$，$\vec v=\overrightarrow{EC}$ とおく。 どちらも $\vec b$ に垂直であり， $$\displaystyle |\vec u|^2=5-\frac{16}{5}=\frac95,\qquad |\vec v|^2=1-\frac15=\frac45.$$ よって $|\vec u|=3/\sqrt5,|\vec v|=2/\sqrt5$。両者のなす角を $\phi$（$0\le\phi\le\pi$）とすると $$\displaystyle \vec a\cdot\vec c=\left(\frac45\vec b+\vec u\right)\cdot \left(\frac15\vec b+\vec v\right) =\frac45+\frac65\cos\phi.$$ 従って求める範囲は $$\displaystyle \boxed{-\frac25\le\vec a\cdot\vec c\le2}.$$ $\vec b$ に垂直な平面内で $\vec v$ の方向を自由に回せば $\phi$ の全範囲が実現するため，これは必要十分な範囲である。

(3) 底面を $\triangle OAB$ とすると，その面積は $OB\cdot DA/2=3/2$。 点 $C$ から平面 $OAB$ までの高さは，$\vec v$ の $\vec u$ に垂直な成分の長さなので $(2/\sqrt5)\sin\phi$。 非共面の条件は $0<\phi<\pi$ である。よって体積は $$\displaystyle V=\frac13\cdot\frac32\cdot\frac2{\sqrt5}\sin\phi =\frac1{\sqrt5}\sin\phi.$$ 最大値は $\phi=\pi/2$ のときに実現する。そのときの内積と体積は $$\displaystyle \boxed{\vec a\cdot\vec c=\frac45,\qquad V_{\max}=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}}.$$