4福井大学 2010年 数学 第4問解答・解説

(1) 行列の成分を掛けると $$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}p^2+\dfrac1{p^2}&-\dfrac1p\\[2pt]-\dfrac2p&p^2+2\end{pmatrix}, \qquad A^2+\frac1pA=(p^2+1)E.$$ ここで $p^2+1\ne0$ である。また $A$ と $\displaystyle A+\frac1pE$ の積は順序を入れ替えても同じなので、上の等式から $$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{p^2+1}\left(A+\frac1pE\right) =\frac{1}{p^2+1}A+\frac{1}{p(p^2+1)}E.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{a=\frac1{p^2+1},\qquad b=\frac1{p(p^2+1)}}.$$

(2) 各成分を計算すると $$C=AB=\begin{pmatrix}p&-1\\1&p\end{pmatrix},\qquad E+C=\begin{pmatrix}p+1&-1\\1&p+1\end{pmatrix}.$$ $(p+1)^2+1>0$ なので、 $$\displaystyle (E+C)^{-1}=\frac1{(p+1)^2+1}\begin{pmatrix}p+1&1\\-1&p+1\end{pmatrix}$$ が存在する。実際、右辺の分子を $E+C$ に左から掛けると $((p+1)^2+1)E$ になる。

$S=E-C+C^2-C^3+\cdots-C^{2m-1}$ とおく。右から $E+C$ を掛けると、隣り合う項が消去して $$S(E+C)=E-C^{2m}.$$ したがって右から $(E+C)^{-1}$ を掛ければ $$E-C+C^2-C^3+\cdots-C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1}$$ を得る。

(3) $p=\sqrt3$ では $$C^2=\begin{pmatrix}2&-2\sqrt3\\2\sqrt3&2\end{pmatrix},\qquad C^3=\begin{pmatrix}0&-8\\8&0\end{pmatrix},\qquad C^6=(C^3)^2=-64E.$$ (2)で $m=3n$ とすると、$C^{6n}=(-64)^nE$ だから $$D_n=(1-(-64)^n)(E+C)^{-1}.$$ また $$\displaystyle (E+C)^{-1}=\frac1{5+2\sqrt3} \begin{pmatrix}1+\sqrt3&1\\-1&1+\sqrt3\end{pmatrix}.$$ よって $$\displaystyle \begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix} =D_n\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} =\frac{1-(-64)^n}{5+2\sqrt3} \begin{pmatrix}5+2\sqrt3\\1+3\sqrt3\end{pmatrix}.$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{x_n=1-(-64)^n},\qquad \boxed{\frac{y_n}{x_n}=\frac{1+3\sqrt3}{5+2\sqrt3}=\sqrt3-1}.$$ ここで $n\ge1$ より $(-64)^n\ne1$ なので、比は定義される。