6弘前大学 2012年 数学 第6問解答・解説

・ $E'=(x,y)\ (x>0,\ y>0)$ とおく。角 $E'$ が直角だから、 $$\overrightarrow{E'O}\cdot\overrightarrow{E'F'}=(-x,-y)\cdot(-5-x,11-y)=x^2+y^2+5x-11y=0,$$ したがって $x^2+y^2=-5x+11y$ である。また、二等辺三角形なので $$|E'O|^2=|E'F'|^2,\qquad x^2+y^2=(x+5)^2+(y-11)^2,$$ より $-5x+11y=73$ を得る。よって $x^2+y^2=73$ であり、 $$\displaystyle x^2+\left(\frac{73+5x}{11}\right)^2=73 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad x^2+5x-24=0 \quad\text{、すなわち}\quad (x-3)(x+8)=0.$$ $x>0$ より $x=3$、さらに $-5x+11y=73$ から $y=8$。したがって $E'=(3,8)$ である。

・ $f$ を表す行列を $A$ とする。標準基底の第1ベクトルは $E=(1,0)$ なので $$A\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=E'=\begin{pmatrix}3\\8\end{pmatrix}.$$ また $F-E=(0,1)$ だから、線形性より $$A\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=f(F-E)=F'-E'=\begin{pmatrix}-5\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\3\end{pmatrix}.$$ したがって $$A=\begin{pmatrix}3&-8\\8&3\end{pmatrix}.$$

・ 任意のベクトル $(s,t)$ に対し、 $$\left|A\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}\right|^2=(3s-8t)^2+(8s+3t)^2=73(s^2+t^2)$$ である。ゆえに $f$ は任意のベクトルの長さを $\sqrt{73}$ 倍にする。$f$ は線形変換で $f(O)=O$ だから、三角形 $OPQ$ の各辺は対応する三角形 $OP'Q'$ の辺へ移るとき、いずれも同じ倍率 $\sqrt{73}$ 倍になる。したがって三辺の比がそれぞれ等しく、三辺相等により $$\triangle OPQ\sim\triangle OP'Q'$$ である。