7弘前大学 2012年 数学 第7問解答・解説

$\displaystyle u=\dfrac{x+y}{2}$、$\displaystyle v=\dfrac{x-y}{2}$ と置くと $x=u+v$, $y=u-v$ であり、加法定理から $$\sin x+\sin y=2\sin u\cos v.$$

(1) $\displaystyle x+y=\dfrac{\pi}{3}$ より $\displaystyle u=\dfrac{\pi}{6}$。したがって $\sin x+\sin y=\cos v$ となる。$x,y$ は実数なので $v$ は任意の実数をとれ、$\cos v$ の値域は $-1\le\cos v\le1$。よって $$-1\leq\sin x+\sin y\leq1.$$

(2) 条件は $\displaystyle \sin u\cos v=\dfrac45$ である。$|\cos v|\leq1$ より $\displaystyle |\sin u|\geq\dfrac45$。$t=\sin^2u$ とすれば $\displaystyle \dfrac{16}{25}\leq t\leq1$ であり、 $$\sin^2(x+y)=\sin^2(2u)=4t(1-t).$$ この範囲では $\displaystyle t>\dfrac12$ なので $t(1-t)$ は減少する。よって $$\displaystyle 0\leq\sin^2(x+y)\leq4\cdot\frac{16}{25}\cdot\frac9{25}=\left(\frac{24}{25}\right)^2,$$ 従って $\displaystyle |\sin(x+y)|\leq\dfrac{24}{25}$。

この上下端の間のすべての値が実現することを確かめる。$\displaystyle \alpha=\arcsin\dfrac45$ とすると、$\displaystyle \sin(\pi/4)=\dfrac{\sqrt2}{2}<\dfrac45$ より $\pi/4<\alpha<\pi/2$。$u$ を $\alpha\le u\le\pi-\alpha$ の範囲で動かすと $\sin u\geq4/5$ なので、$\displaystyle \cos v=\dfrac{4}{5\sin u}$ を満たす実数 $v$ を選べる。このとき $\sin u\cos v=4/5$ が成り立つ。また $2u$ は $2\alpha\le2u\le2\pi-2\alpha$ を動き、この範囲では $\pi/2<2u<3\pi/2$ である。そこで $\sin2u$ は連続に $24/25$ から $-24/25$ まで動き、間のすべての値をとる。ゆえに求める範囲は $$\displaystyle -\frac{24}{25}\leq\sin(x+y)\leq\frac{24}{25}.$$