千葉大学 2012年数学第7問解答・解説

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1問題

千葉大学2012年度第7問

横 2a, 縦 2b の長方形を長方形の中心のまわりに角 θ だけ回転させる。回転後の長方形ともとの長方形とが重なり合う部分の面積 $S(\theta)$ を求めよ。ただし, 長方形の中心とはその 2 つの対角線の交点とし, 長方形はそれを含む平面内で回転するものとする。また, 回転角 θ は 0 以上, 長方形のいずれかの頂点が隣の頂点に達するまでの角度以下に取るものとする。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

表示確認 F16 は $a,b$ をそのまま用い、B16 は $\displaystyle A=\max(a,b),B=\min(a,b)$ に並べ替える。二つの二乗項の和は $a,b$ の交換に対して不変なので面積表示は同じである。 $\tan\theta=2u/(1-u^2)$ によりF16の半角表示とB16の三角比表示は一致する。正方形の端点 $\theta=\pi/2$ は両答とも別式で値 $4a^2$ を与える。

本ファイルは表示と参照の品質記録であり、数式本文は再生成・変更していない。

この問題で使う考え方

三角比と相互関係
三角比による面積
半角の公式

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