2千葉大学 2012年 数学 第2問解答・解説

・ 余弦定理より $$\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} =\frac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot5\cdot8}=\frac12.$$ したがって $\angle BAC=60^\circ$。

・ 三角形 $ABC$ の外接円の半径を $R$ とする。正弦定理の拡張形から $$\displaystyle 2R=\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{7}{\sin60^\circ}, \qquad R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}.$$

・ 平面 $ABC$ への点 $O$ の正射影を $I$ とする。$OA=OB=OC$ なので、直角三角形の関係から $IA=IB=IC$ となり、$I$ は三角形 $ABC$ の外心である。高さを $h=OI>0$ とおけば $$t^2=h^2+R^2.$$ 四面体は退化しないので $h>0$。4頂点を通る球の中心は軸 $OI$ 上にある。中心の $ABC$ 平面からの符号付き距離を $z$ とすると、頂点 $A$ と $O$ までの距離が等しいことから $$\displaystyle R^2+z^2=(h-z)^2,\qquad z=\frac{h^2-R^2}{2h}.$$ 球の半径を $\rho$ とすれば $$\displaystyle \rho=\sqrt{R^2+z^2}=\frac{h^2+R^2}{2h}, \qquad \rho-R=\frac{(h-R)^2}{2h}\geq0.$$ よって半径は $h=R$ のとき最小となる。このとき $$\displaystyle t=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{2}R=\frac{7\sqrt{6}}{3}.$$

余弦定理で底面の角を求め、正弦定理から底面の外接円半径を得る。Oから底面への垂線の足は外心になる。高さhで外接球半径を表すと、半径と底面外接円半径との差は平方項となり、h=Rのとき最小になる。