15自治医科大学 2012年 数学 第15問解答・解説

$AB=7,\ AC=5,\ BC=6$ である。角の二等分線の定理より $$BD:DC=AB:AC=7:5,$$ したがって $BD=7/2,\ DC=5/2$ である。

$\phi=\angle ADB$ とおくと、$B,D,C$ は一直線上にあるため $\angle ADC=\pi-\phi$。余弦定理を三角形 $ABD,ACD$ に用いると $$AB^2=L^2+BD^2-2L\,BD\cos\phi, \qquad AC^2=L^2+DC^2-2L\,DC\cos(\pi-\phi) =L^2+DC^2+2L\,DC\cos\phi.$$ 前式に $DC$、後式に $BD$ を掛けて加えると、余弦を含む項が相殺し、 $$AB^2DC+AC^2BD=(BD+DC)(L^2+BD\cdot DC)$$ を得る。数値を代入すれば $$\displaystyle 49\cdot\frac52+25\cdot\frac72 =6\left(L^2+\frac72\cdot\frac52\right),$$ よって $210=6(L^2+35/4)$、$L^2=105/4$。長さなので $L=\sqrt{105}/2$ であり、 $$\displaystyle \frac{12L}{\sqrt{105}}=\frac{12}{\sqrt{105}}\cdot\frac{\sqrt{105}}2=6.$$ 選択肢は $\boxed{\text{マ}}$。