1自治医科大学 2012年 数学 第1問解答・解説

大問1

設問は $$\displaystyle \frac12\left(\frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}+\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}\right)$$ の値を求めるものであり、選択肢の対応はヤ=7である。

$\sqrt3<2$ なので $2+\sqrt3$ と $2-\sqrt3$ はいずれも0でない。分母を共役な式で有理化すると $$\displaystyle \frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3} =\frac{(2-\sqrt3)^2}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)} =7-4\sqrt3, \qquad \frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3} =\frac{(2+\sqrt3)^2}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)} =7+4\sqrt3.$$ したがって $$\displaystyle \frac12\left(\frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}+\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}\right) =\frac12\bigl((7-4\sqrt3)+(7+4\sqrt3)\bigr) =\boxed{7}.$$ 選択肢では $\boxed{\text{ヤ}}$（ヤ=7）を選ぶ。

単元・方法・テーマ 単元：数学I「数と式」。方法：分母に共役な式を掛けて有理化し、平方を展開して根号項を整理する。テーマ：共役な分数式の和に現れる根号項の相殺。