自治医科大学 2012年数学第3問解答・解説

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1問題

自治医科大学2012年度第3問

等式 $\displaystyle \frac{4}{1-x^{4}}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}+\frac{C}{1+x^{2}}$ が $x$ についての恒等式となるように，定数 $A,B,C$ を定める。定数 $C$ の値を求めよ。

選択肢：ア：0，カ：1，サ：2，タ：3，ナ：4，ハ：5，マ：6，ヤ：7，ラ：8，ワ：9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$1-x^4=(1-x)(1+x)(1+x^2)$ なので、恒等式の両辺に $1-x^4$ を掛けて $4=A(1+x)(1+x^2)+B(1-x)(1+x^2)+C(1-x^2)$ を得る。 $x=1$ を代入すると $4=4A$ より $A=1$ 、 $x=-1$ から $4=4B$ より $B=1$ 。 $x=0$ から $4=A+B+C$ なので $C=2$ 。選択肢の対応はサ=2だから、選ぶ記号はサ。

この問題で使う考え方

因数分解
恒等式への代入

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