秋田大学 2014年数学第2問解答・解説

いろいろな式

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1問題

秋田大学2014年度第2問

次の問いに答えよ。

(i) 次の式を，実数の範囲で因数分解せよ。

$6 (x + 3) (x + 4) (x + 6) (x + 8) - (x + 1) (x + 2) (x + 12) (x + 24)$

(ii) n を自然数, A, B を整数とする。多項式 $x^{2n}-4x^{8}+Ax+B$ が $x^{2}-x+1$ で割り切れるように, A, B の値を定めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(i) (x+10)(5x+12)(x^2+5x+24); (ii) n≡0 mod 3: (A,B)=(4,-5); n≡1 mod 3: (A,B)=(3,-3); n≡2 mod 3: (A,B)=(5,-4)$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(i) 展開すると $\begin{aligned} &6(x+3)(x+4)(x+6)(x+8)-(x+1)(x+2)(x+12)(x+24)\\ &\qquad=5x^4+87x^3+550x^2+2088x+2880\\ &\qquad=(x+10)(5x+12)(x^2+5x+24). \end{aligned}$ 最後の二次式の判別式は $5^2-4\cdot24=-71<0$ なので、これが実数の範囲での因数分解である。

(ii) $q(x)=x^2-x+1$ とおくと、 $q(x)=0$ のもとで $x^2\equiv x-1$ 、したがって $x^3\equiv-1$ 、 $x^6\equiv1$ である。また $x^8\equiv x^2\equiv x-1$ 。よって $x^{2n}\equiv\begin{cases}1&(n\equiv0\pmod3),\\x-1&(n\equiv1\pmod3),\\-x&(n\equiv2\pmod3). \end{cases}$ 従って $x^{2n}-4x^8+Ax+B$ を $q(x)$ で割った余りは $\begin{cases} (A-4)x+B+5&(n\equiv0\pmod3),\\ (A-3)x+B+3&(n\equiv1\pmod3),\\ (A-5)x+B+4&(n\equiv2\pmod3). \end{cases}$ 割り切れるためには各場合に余りが $0$ となればよい。ゆえに $(A,B)=\begin{cases}(4,-5)&n\equiv0\pmod3,\\(3,-3)&n\equiv1\pmod3,\\(5,-4)&n\equiv2\pmod3.\end{cases}$

この問題で使う考え方

因数分解
多項式の余り

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