鳥取大学 2012年数学第II問解答・解説

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1問題

鳥取大学2012年度第II問

等式 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=2$ を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ で $a\ge b\ge c$ を満たすものをすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解は $(a,b,c)=(8,3,3),(5,4,3),(15,4,2),(9,5,2),(7,6,2)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$c\ge4$ ならば $\displaystyle \left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right)\left(1+\frac1c\right)\le\left(\frac54\right)^3<2,\quad c\le3$ . c=1 は積が 2 より大きくなり不可. c=3: (a-2)(b-2)=6,　(a,b)=(8,3),(5,4). c=2: (a-3)(b-3)=12,　(a,b)=(15,4),(9,5),(7,6). (a,b,c)=(8,3,3),(5,4,3),(15,4,2),(9,5,2),(7,6,2).

c≧4なら積は (1+1/c)^3≦(5/4)^3<2 となるため c≦3。c=1では第1因子だけで2となり他因子が1より大きいので不可能。 c=3では (1+1/a)(1+1/b)=3/2。整理して (a−2)(b−2)=6。a≧b≧3より正の因数の組 (a−2,b−2) は (6,1),(3,2) で、(a,b,c)=(8,3,3),(5,4,3)。 c=2では (1+1/a)(1+1/b)=4/3。b=2なら積は3/2より大きく、b=3でも積は4/3より大きいので b≧4。整理すると (a−3)(b−3)=12。a≧bから因数組は (12,1),(6,2),(4,3) で、(a,b,c)=(15,4,2),(9,5,2),(7,6,2)。以上がすべて。

この問題で使う考え方

上界評価
因数分解
約数の列挙

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