III鳥取大学 2012年 数学 第III問解答・解説

$\displaystyle F(x)=\displaystyle\int_a^x(x-t)f(t)\,dt$ とおく。積分を $$\displaystyle F(x)=x\int_a^x f(t)\,dt-\int_a^x tf(t)\,dt$$ と書けば、$f$ の連続性と微積分の基本定理から $\displaystyle F'(x)=\int_a^x f(t)\,dt$、$F''(x)=f(x)$。一方、問題の右辺を2回微分すると $-a^2\cos(ax)$。よって $$f(x)=-a^2\cos(ax)。$$

元の式に $x=a$ を代入すると $0=\cos(a^2)-b$、すなわち $b=\cos(a^2)$。また $F'(a)=0$ であり、右辺の導関数を $x=a$ に代入すると $-a\sin(a^2)=0$。$a>0$ より $\sin(a^2)=0$。さらに $0<a^2<4$ なので、$a^2$ は $\pi$ に限られる。従って $a=\sqrt\pi$、$b=\cos\pi=-1$、 $$f(x)=-\pi\cos(\sqrt\pi x)。$$ この候補が積分方程式を満たすことも確認する。積分で定まる $F$ と $\cos(\sqrt\pi x)+1$ は二階導関数がともに $-\pi\cos(\sqrt\pi x)$ であり、$x=\sqrt\pi$ における値と一階導関数もともに0。よって両者は一致する。

最後に $f(x)\le\pi$。等号は $\cos(\sqrt\pi x)=-1$、すなわち $\sqrt\pi x=(2n+1)\pi$ のとき成立する。したがって最大値を取る $x$ は $$x=(2n+1)\sqrt\pi\qquad(n\text{ は整数})。$$

答え

(1) $a=\sqrt\pi,\ b=-1$。 (2) $f(x)=-\pi\cos(\sqrt\pi x)$。 (3) $x=(2n+1)\sqrt\pi$（$n\text{ は整数}$）で最大値 $\pi$。