3日本大学 2013年 数学 第3問解答・解説

第3問　訂正解答

(1) 面積 $S(a)$ $0<a<\pi/2$ で、$y=\cos x$ の $x=a$ における傾きは $-\sin a$ である。従って接線は $$\ell:\quad y=\cos a-\sin a(x-a) =\cos a+a\sin a-x\sin a.$$ $g(x)=\cos a-\sin a(x-a)-\cos x$ と置くと $g(a)=0$、$g'(x)=\sin x-\sin a<0\ (0\le x<a)$ である。 よって $0\le x<a$ で接線は曲線より上にあり、図の斜線部は 両者の差を $x=0$ から $a$ まで積分した面積である。 $$\displaystyle \begin{aligned} S(a) &=\int_0^a\{\cos a+(a-x)\sin a-\cos x\}\,dx\\ &=a\cos a+\frac{a^2}{2}\sin a-\sin a. \end{aligned}$$ 従って $$\displaystyle \boxed{S(a)=a\cos a+\left(\frac{a^2}{2}-1\right)\sin a}.$$

(2) 三角関数の極限 半角公式 $\cos h-1=-2\sin^2(h/2)$ を用いると $$\displaystyle \frac{\cos h-1}{h^2} =-\frac12\left(\frac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2.$$ 高校数学の基本極限 $\displaystyle \lim\limits _{u\to0}\sin u/u=1$ より $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{h\to0}\frac{\cos h-1}{h^2}=-\frac12}.$$

(3) 対称な差の極限 条件より十分小さい $h>0$ に対し $a+h,a-h$ はともに $(0,\pi/2)$ にあり、(1) の式をそれぞれに適用できる。 $c=\cos a,\ s=\sin a,\ d=a^2/2-1$ と略記する。 三角関数の加法定理から $$\begin{aligned} \cos(a+h)+\cos(a-h)&=2c\cos h,& \cos(a+h)-\cos(a-h)&=-2s\sin h,\\ \sin(a+h)+\sin(a-h)&=2s\cos h,& \sin(a+h)-\sin(a-h)&=2c\sin h. \end{aligned}$$ $S(t)=t\cos t+(t^2/2-1)\sin t$ にこれらを代入し、 $(a\pm h)^2/2-1=d\pm ah+h^2/2$ を使って整理すると $$\begin{aligned} S(a+h)+S(a-h)-2S(a) ={}&2(ac+ds)(\cos h-1)\\ &+2h(ac-s)\sin h+h^2s\cos h. \end{aligned}$$ 従って $h^2$ で割った式は $$\displaystyle 2(ac+ds)\frac{\cos h-1}{h^2} +2(ac-s)\frac{\sin h}{h}+s\cos h.$$ (2) の極限、$\sin h/h\to1$、$\cos h\to1$ を順に代入すれば $$\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{h\downarrow0}\frac{S(a+h)+S(a-h)-2S(a)}{h^2} &=-(ac+ds)+2(ac-s)+s\\ &=ac-(d+1)s\\ &=\boxed{a\cos a-\frac{a^2}{2}\sin a}. \end{aligned}$$

検算 (1) の面積は積分する関数 $g(x)>0$ により正であり、 $a\downarrow0$ では $S(a)\to0$ となる。 また (1) の式を通常の微分法で計算すると $$\displaystyle S'(a)=\frac{a^2}{2}\cos a, \qquad S''(a)=a\cos a-\frac{a^2}{2}\sin a.$$ 後者は加法定理だけで求めた (3) の極限値と一致する。