IV慶應義塾大学 2018年 数学 第IV問解答・解説

A答案 Q4 — 慶應義塾大学 2018

曲線は $$x=g(\theta)=\theta+\sin\theta,\qquad y=h(\theta)=1-\cos\theta,\qquad -\pi<\theta<\pi.$$

(1) 接点と座標の範囲

$$\displaystyle g'(\theta)=1+\cos\theta=2\cos^2\frac\theta2>0 \quad(-\pi<\theta<\pi).$$ $h(\theta)=0$ となるのは $\theta=0$ であり、その点は $(0,0)$。さらに $h'(0)=0,\ g'(0)=2\ne0$ なので、そこで接線は $x$ 軸である。 $$\displaystyle \lim\limits _{\theta\to-\pi+}g(\theta)=-\pi,\quad \lim\limits _{\theta\to\pi-}g(\theta)=\pi,\quad 0\leq h(\theta)<2.$$ 従って あ=0、い=0、う=$-\pi$、え=$\pi$、お=0、か=2。

(2) $x$ 座標の一意性と下に凸

$g'(\theta)>0$ なので $-\pi<\theta<\pi$ では $\theta$ が大きくなると $g(\theta)$ も必ず大きくなり、その値域は $-\pi<g(\theta)<\pi$。よって各 $-\pi<x<\pi$ に対応する $\theta$ はただ一つで、曲線上の点 $P$ もただ一つである。

$y=f(x)=h(\theta)$ とすると $$\displaystyle f'(x)=\frac{h'(\theta)}{g'(\theta)} =\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} =\tan\frac\theta2.$$ さらに $$\displaystyle f''(x)=\frac{d}{d\theta}\left(\tan\frac\theta2\right)\frac{d\theta}{dx} =\frac{1}{2\cos^2(\theta/2)}\frac{1}{2\cos^2(\theta/2)} =\frac{1}{4\cos^4(\theta/2)}>0.$$ したがってグラフは下に凸である。

(3) 曲線長

$$\displaystyle \sqrt{(g'(\theta))^2+(h'(\theta))^2} =\sqrt{(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta} =2\cos\frac\theta2 \quad(0\leq\theta\leq t<\pi).$$ 従って $$\displaystyle L(t)=\int_0^t2\cos\frac\theta2\,d\theta =\boxed{4\sin\frac t2}.$$

(4) 接線と $Q_t$

点 $P_t=(t+\sin t,1-\cos t)$ での接線の傾きは $$\displaystyle \frac{h'(t)}{g'(t)}=\tan\frac t2.$$ $x$ 軸との交点 $Q_t$ の $x$ 座標は $$\displaystyle t+\sin t-\frac{1-\cos t}{\tan(t/2)} =t+\sin t-\sin t=t.$$ また $$\overrightarrow{Q_tP_t}=(\sin t,1-\cos t),$$ その偏角は $\displaystyle \tan^{-1}\frac{1-\cos t}{\sin t}=\frac t2$。従って く=$t$、け=$\displaystyle \frac t2$。

(5) すべらず右へ転がした後の $P_0$

接点が $P_0$ から $P_t$ へ移る弧長は $L(t)=4\sin u$、ただし $u=t/2$。すべらないので、新しい接点 $P_t$ は $x$ 軸上の $(4\sin u,0)$ に移る。接線の傾きが $\tan u$ だから、曲線全体は時計回りに角 $u$ 回転する。

元の位置で $P_t$ から $P_0$ へのベクトルは $$P_0-P_t=(-t-\sin t,\,-(1-\cos t)).$$ これを時計回りに $u$ 回転すると、成分は $$\begin{pmatrix}\cos u&\sin u\\-\sin u&\cos u\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-t-\sin t\\-(1-\cos t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-t\cos u-2\sin u\\t\sin u\end{pmatrix}.$$ 接点の位置 $(4\sin u,0)$ を加えると $$\displaystyle \boxed{a(t)=2\sin\frac t2-t\cos\frac t2,\qquad b(t)=t\sin\frac t2}.$$

(6) 軌跡と $x$ 軸、$x=\alpha$ の面積

$$\displaystyle a'(t)=\frac t2\sin\frac t2>0,\qquad \alpha=\lim\limits _{t\to\pi-}a(t)=2.$$ 従って $R_t$ は $x$ 座標について単調に進み、面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^\pi b(t)a'(t)\,dt =\frac12\int_0^\pi t^2\sin^2\frac t2\,dt\\ &=\frac14\int_0^\pi t^2(1-\cos t)\,dt. \end{aligned}$$ 部分積分により $$\displaystyle \int_0^\pi t^2\,dt=\frac{\pi^3}{3},\qquad \int_0^\pi t^2\cos t\,dt =\left[t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t\right]_0^\pi=-2\pi.$$ よって $$\displaystyle \boxed{S=\frac{\pi^3}{12}+\frac\pi2}.$$

最終答案

(1) $(0,0)$、$-\pi<x<\pi$、$0\leq y<2$。 (2) $g'(\theta)>0$ による一意性、$f''(x)=1/(4\cos^4(\theta/2))>0$。 (3) $L(t)=4\sin(t/2)$。 (4) $Q_t$ の $x$ 座標 $t$、角 $t/2$。 (5) $a(t)=2\sin(t/2)-t\cos(t/2),\ b(t)=t\sin(t/2)$。 (6) 面積 $\pi^3/12+\pi/2$。

使用解法：媒介変数の微分、逆関数の一意性と二階微分、曲線長、接線、平面回転とすべりなし条件、媒介変数による面積積分。 issues：なし。