4昭和大学 2018年 数学 第4問解答・解説

昭和大学 2018年度 医学部 I期 数学 問4 答え　 (1) $\displaystyle \frac12$,　　 (2) $\displaystyle \frac{3\sqrt3}{2}$,　　 (3) $\displaystyle \frac{18\sqrt3}{5}$.

・ $$\displaystyle \left(\frac{\sqrt n}{n+k}\right)^2 =\frac{n}{(n+k)^2} =\frac1n\frac1{(1+k/n)^2}.$$ $f(x)=1/(1+x)^2$ は $0\le x\le1$ の範囲で連続なので、与えられた和の極限は区分求積法で求められる。従って $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^n\frac1n f(k/n) =\int_0^1\frac{dx}{(1+x)^2} =\left[-\frac1{1+x}\right]_0^1 =\frac12.$$

・ 双曲線上の接点を $(a,b)$ とする。条件は $a^2-b^2=1$ であり、接線は $$ax-by=1$$ である。これが $P=(0,t)$ を通る条件は $-bt=1$。$t\ne0$ より $$\displaystyle b=-\frac1t,\qquad a=\pm\sqrt{1+\frac1{t^2}} =\pm\frac{\sqrt{t^2+1}}{|t|}.$$ 従って接点 $A,B$ の水平な距離は $AB=2\sqrt{t^2+1}/|t|$。 直線 $AB$ は $y=-1/t$ なので、$P$ から $AB$ までの高さは $$\displaystyle \left|t+\frac1t\right|=\frac{t^2+1}{|t|}.$$ よって $$\displaystyle S(t)=\frac12\cdot\frac{2\sqrt{t^2+1}}{|t|} \cdot\frac{t^2+1}{|t|} =\frac{(t^2+1)^{3/2}}{t^2}.$$ $u=t^2>0$ とおくと $S=(u+1)^{3/2}/u$ であり、 $$\displaystyle \frac{dS}{du}=\frac{\sqrt{u+1}(u-2)}{2u^2}.$$ 従って $0<u<2$ で減少、$u>2$ で増加する。また $u\to0+$ および $u\to\infty$ で $S\to\infty$。ゆえに $u=2$ が全体で最小値をとる点で、 $$\displaystyle S_{\min}=\frac{(2+1)^{3/2}}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}.$$

・ $0\leq t\leq\pi/3$ では $\sin2t\geq0$ だから $x'(t)=-6\sin2t\leq0$。また $y=2\sin3t\geq0$ で、両端では $y=0$。 従って $x$ は $3$ から $-3/2$ まで単調に動き、囲まれた面積は $$\displaystyle \int_0^{\pi/3}y(t)(-x'(t))\,dt =12\int_0^{\pi/3}\sin3t\sin2t\,dt.$$ 積和公式 $\sin3t\sin2t=(\cos t-\cos5t)/2$ を使うと $$\displaystyle 6\int_0^{\pi/3}(\cos t-\cos5t)\,dt =6\left[\sin t-\frac15\sin5t\right]_0^{\pi/3} =\frac{18\sqrt3}{5}.$$

検算　 (2)は $t=\pm\sqrt2$ で面積 $3\sqrt3/2$。導関数の符号は $u-2$ の符号と同じで、両端側 $u\to0+$ および $u\to\infty$ では面積が発散するのでこの値が全体の最小値。 (3)の端点は $(3,0),(-3/2,0)$、曲線は区間内で $x$ 軸の上側にあり、$x$ は単調減少するため積分した面積の符号・範囲は正しい。