2昭和大学 2018年 数学 第2問解答・解説

昭和大学 2018年度 医学部 I期 数学 問2

答え　 (1) $z=\sqrt{3}+i$、　　 (2) $p=3,\ q=6$。

・ $-8+8\sqrt{3}\,i$ の絶対値は $$\sqrt{(-8)^2+(8\sqrt{3})^2}=16$$ であり、第2象限にあるので偏角の一つは $2\pi/3$ である。 したがって、$z^4=-8+8\sqrt{3}\,i$ の4個の解は $$\displaystyle w_k=2\left\{\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\right) +i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\right)\right\} \qquad(k=0,1,2,3).$$ これらを順に書けば $$w_0=\sqrt{3}+i,\quad w_1=-1+\sqrt{3}\,i,\quad w_2=-\sqrt{3}-i,\quad w_3=1-\sqrt{3}\,i.$$ 実部は順に $\sqrt{3},-1,-\sqrt{3},1$ である。 $\sqrt{3}>1$ より、実部が最大の解は $\boxed{\sqrt{3}+i}$ である。

・ 前問で求めた解を、問題文に従い $z_{1}=\sqrt{3}+i$ と書く。 $$\displaystyle z_{1}=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right),\qquad 1-i=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) +i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$ $z_{1}^{p}=(1-i)^q$ なら、絶対値の一致から $$2^p=(\sqrt{2})^q=2^{q/2},\qquad q=2p.$$ 偏角も $2\pi$ を法として等しいから $$\displaystyle \frac{p\pi}{6}\equiv-\frac{q\pi}{4}\pmod{2\pi}.$$ $q=2p$ を代入すると $2p\pi/3$ は $2\pi$ の整数倍である。 よって $p$ は3の倍数、$q=2p$ は6の倍数であり、正の整数解は $$(p,q)=(3n,6n)\qquad(n=1,2,3,\ldots)$$ となる。したがって、$p,q$ がそれぞれ最小の組は $\boxed{(p,q)=(3,6)}$ である。

検算　 $(\sqrt{3}+i)^2=2+2\sqrt{3}\,i$ であり、これを二乗すると $-8+8\sqrt{3}\,i$ になる。また $$(\sqrt{3}+i)^3=8i,\qquad (1-i)^6=\bigl((1-i)^2\bigr)^3=(-2i)^3=8i.$$ これで両小問の値を直接確認でき、上の必要条件と合わせて最小性も確かめられる。