1昭和大学 2018年 数学 第1問解答・解説

昭和大学 2018年度 医学部 I期 数学 問1 答え　 (1) $\displaystyle \frac{\pi}{3}$,　　 (2) $\displaystyle t=-\frac14$, $\displaystyle |\vec p|_{\min}=\sqrt3$,　　 (3) $16t^2+4t$,　　 (4) 4倍.

・ $\vec a=(\sqrt3,-1),\ \vec b=(2\sqrt3,2)$ であるから $$\vec a\cdot\vec b=6-2=4,\qquad |\vec a|=\sqrt{3+1}=2,\qquad |\vec b|=\sqrt{12+4}=4.$$ なす角を $\theta\ (0\leq\theta\leq\pi)$ とすると $\cos\theta=(\vec a\cdot\vec b)/(|\vec a||\vec b|)=1/2$。 したがって $\theta=\pi/3$.

・ $$\vec p=\vec a+t\vec b =(\sqrt3(1+2t),-1+2t)$$ より $$\displaystyle |\vec p|^2=3(1+2t)^2+(-1+2t)^2 =16t^2+8t+4=16\left(t+\frac14\right)^2+3.$$ 平方項が最小の0となるのは $t=-1/4$ であり、そのとき $|\vec p|^2=3$。よって最小値は $\sqrt3$.

・ $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=t\vec b$ だから $$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{AP} =(\vec a+t\vec b)\cdot(t\vec b) =t(\vec a\cdot\vec b)+t^2|\vec b|^2 =4t+16t^2.$$

・ 三角形の面積は、2辺のベクトルの成分の積の差の絶対値の半分である。 $\overrightarrow{OP}=\vec a+t\vec b$ より $$\displaystyle \frac{[OAP]}{[OAB]} =\frac{|\sqrt3(-1+2t)+\sqrt3(1+2t)|}{|2\sqrt3+2\sqrt3|} =|t|.$$ (2)の $t=-1/4$ では $[OAP]=[OAB]/4$ となるので、 $\triangle OAB$ の面積は $\triangle OAP$ の4倍である。

検算　 (2)の平方完成から $|\vec p|^2\geq3$ が全ての実数 $t$ で成り立ち、$t=-1/4$ で等号。 (4)の面積比は $|t|=1/4$ であり、問われる逆向きの比は4。