4東京慈恵会医科大学 2015年 数学 第4問解答・解説

$\vec a=\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(2,1,2)$、$\vec p=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ とおくと、$|\vec a|^2=9$、$|\vec a|=3$ である。条件から $|\vec p|=3$ かつ $\vec a\cdot\vec p=|\vec a||\vec p|\cos(\pi/3)=9/2$ を得る。

(1) 点 $C$ は $\vec p$ の直線 $OA$ への正射影なので $$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{\vec a\cdot\vec p}{|\vec a|^2}\vec a =\frac{9/2}{9}(2,1,2)=\left(1,\frac12,1\right).$$ 右辺は $P$ によらない。よって $\displaystyle (\text{カ})=(1,\frac12,1)$。

平面 $\alpha$ は $C$ を通り、法線ベクトルが $\vec a$ であるから、その方程式は $$\displaystyle 2X+Y+2Z=\vec a\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac92$$ である（ここで $(X,Y,Z)$ は平面上の点の座標）。$G=(0,0,s)$ を代入すると $2s=9/2$ より $s=9/4$。$H=(1,2,t)$ を代入すると $2+2+2t=9/2$ より $t=1/4$。したがって $(\text{キ})=9/4$、$(\text{ク})=1/4$。

(2) $P$ は、球面 $|\vec p|=3$ と平面 $\alpha$ との交わりである。平面の中心点は $C$ であり、$OC=|\vec a|/2=3/2$。直角三角形 $OCP$ から、この交わりは中心 $C$、半径 $$\displaystyle R=CP=\sqrt{OP^2-OC^2}=\sqrt{9-\frac94}=\frac{3\sqrt3}{2}$$ の円である。逆に、この円上の点は $|\vec p|=3$ かつ $\vec a\cdot\vec p=9/2$ を満たすので、元の条件を満たす。したがって円全体が $P$ の動く範囲である。

$\vec b=(-2,1,0)$ とおけば、求める量は $y-2x=\vec b\cdot\vec p$。円上の $\vec p$ を $\vec p=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\vec u$ と表すと、$\vec u\cdot\vec a=0$、$|\vec u|=R$ である。また $$\displaystyle \vec b\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\frac32, \qquad \vec b_0=\vec b-\frac{\vec b\cdot\vec a}{|\vec a|^2}\vec a =\vec b+\frac13\vec a=\left(-\frac43,\frac43,\frac23\right), \qquad |\vec b_0|=2.$$ $\vec b_0$ は $\vec a$ に垂直なので $\vec b_0\cdot\vec u=\vec b\cdot\vec u$。よって内積の範囲は $$-|\vec b_0|R\leq \vec b\cdot\vec u\leq |\vec b_0|R, \qquad -3\sqrt3\leq \vec b\cdot\vec u\leq 3\sqrt3.$$ 等号は $\vec u$ が $\vec b_0$ と同方向または反対方向のときに実現する。円周上で方向を動かすとその間の値も全てとる。したがって $$\displaystyle -\frac32-3\sqrt3\leq y-2x\leq -\frac32+3\sqrt3.$$ 検算として両端は $\vec p=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\pm R\,\vec b_0/|\vec b_0|$ としたときに得られ、この $\vec p$ は $\alpha$ 上で $CP=R$ を満たすため、いずれも実際に実現する。