3東京慈恵会医科大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) 点 $P$ は $y$ 軸上にあり、$P$ を通る水平線上に $Q$ があるから、$P=(0,y)$、$Q=(x,y)$ と書ける。したがって $$AP=\sqrt{(1-0)^2+(0-y)^2}=\sqrt{1+y^2},\qquad PQ=|x-0|=|x|.$$ よって、与えられた条件は $$|x|+\sqrt{1+y^2}\leq n$$ となる。この式は、条件を満たす $P$ が存在するための必要条件であるだけでなく、これを満たす $(x,y)$ に対して $P=(0,y)$ とおけば実際に条件を満たすので十分でもある。ゆえに、空欄（オ）には $\boxed{|x|+\sqrt{1+y^2}\leq n}$ が入る。

$D(2)$ では $\sqrt{1+y^2}\geq 1$ より $|x|\leq 1$。この範囲では $2-|x|\geq 1$ なので、元の不等式を平方して $$y^2\leq (2-|x|)^2-1=(1-|x|)(3-|x|)$$ と同値に変形できる。したがって、境界は $-1\leq x\leq1$ における $$y=\pm\sqrt{(1-|x|)(3-|x|)}$$ であり、その上下の弧で囲まれた内部を含む。境界は座標軸対称で、軸との交点は $(\pm1,0)$、$(0,\pm\sqrt3)$ である。解答用紙には、この4点を通る左右・上下対称な境界を描き、内部を塗ればよい。

薄く塗った部分が $D(2)$ であり、実線の境界も含む。

(2) 格子点では $x,y$ は整数である。条件から $\sqrt{1+y^2}\leq n$、すなわち $y^2\leq n^2-1$ である。$n$ は整数なので、整数 $y$ は $-(n-1)\leq y\leq n-1$ に限られる。この範囲の各 $y$ について数える。

まず $y=0$ のとき、$|x|\leq n-1$ であるから、該当する整数 $x$ は $2n-1$ 個。

次に $|y|=m$（$1\leq m\leq n-1$）とする。このとき $$m^2<m^2+1<(m+1)^2$$ より $m<\sqrt{1+m^2}<m+1$。したがって $|x|\leq n-\sqrt{1+m^2}$ を満たす整数 $x$ は $$|x|\leq n-m-1$$ と同値であり、その個数は $2(n-m-1)+1=2n-2m-1$ 個である。これは $y=m$ と $y=-m$ のそれぞれに同じ個数ある。

以上より、重複なく全ての整数 $y$ を数えると $$\displaystyle \begin{aligned} S(n)&=(2n-1)+2\sum\limits _{m=1}^{n-1}(2n-2m-1)\\ &=2n-1+2\sum\limits _{k=1}^{n-1}(2k-1)\\ &=2n-1+2(n-1)^2\\ &=2n^2-2n+1. \end{aligned}$$ ここで $k=n-m$ と置き換えた。また、$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}(2k-1)=(n-1)^2$ は、等差数列の和として計算した。

したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{S(n)}{(2n+1)^2} =\lim\limits _{n\to\infty}\frac{2n^2-2n+1}{4n^2+4n+1} =\frac12,$$ 最後は分子・分母を $n^2$ で割ればよい。検算として、$n=2$ では $y=0$ に3点、$y=\pm1$ に各1点の計5点となり、公式 $2n^2-2n+1$ も5を与える。