1東海大学 2009年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle \frac{2}{\sqrt3-1}=\sqrt3+1$ なので、整数部分は $\alpha=2$、小数部分は $\beta=\sqrt3-1$。従って $$\displaystyle \frac1{\alpha+\beta+3}+\frac1{\alpha-\beta+1} =\frac1{4+\sqrt3}+\frac1{4-\sqrt3} =\frac8{13}.$$

(2) 公比を $r$、項数を $n$ とする。末項から $r^{n-1}=8\sqrt2= (\sqrt2)^7$。和の条件と末項が正であることから公比は正であり、$r=\sqrt2$、$n=8$ が得られる。実際、 $$\displaystyle 3\frac{(\sqrt2)^8-1}{\sqrt2-1}=45(\sqrt2+1)$$ となり、和の条件も満たす。

(3) $\displaystyle f(x)=\frac23x-\frac23$ を3回合成すると $$\displaystyle g(x)=\left(\frac23\right)^3x-\frac23\left(1+\frac23+\frac49\right)=\frac{8x-38}{27}.$$ 整数 $x$ で $g(x)$ が整数となる条件は $8x\equiv38\pmod{27}$、すなわち $x\equiv25\pmod{27}$。従って最小の正整数は $25$。実数 $x$ については 整数$k$を用いて$g(x)=k$と置くと $x=(27k+38)/8$。絶対値を最小にする整数は $k=-1$ で、値は $11/8$。

(4) 余事象を用いると、少なくとも1回6が出る確率は $$\displaystyle 1-\left(\frac56\right)^n.$$ これが0.9以上となる条件は $(5/6)^n\le0.1$、すなわち $\displaystyle n\ge\frac{\log 0.1}{\log(5/6)}$。右辺は約12.63なので最小の整数は $13$。

(1) は有理化して整数部分・小数部分を確定し、共役分母の和を計算する。(2) は末項の比から公比と項数を絞り、等比和を代入して条件を確かめる。(3) は一次関数の合成を明示し、整数入力では合同式、実数入力では g(x)=k として最小絶対値を求める。(4) は「6が一度も出ない」確率の余事象を用いる。