4金沢大学 2008年 数学 第4問解答・解説

（1）$u_n=\sqrt{x_n+n}-\sqrt n$ とおくと、仮定より $u_n\to a$。有理化して $$x_n=u_n\bigl(\sqrt{x_n+n}+\sqrt n\bigr)=u_n(2\sqrt n+u_n)$$ を得る。$u_n$ は収束するので有界であり、$$\displaystyle \frac{x_n}{\sqrt n}=2u_n+\frac{u_n^2}{\sqrt n}\longrightarrow2a.$$

（2）各 $k=1,\ldots,L$ について、有理化により $$\displaystyle \sqrt{n+k+1}-\sqrt{n+k} =\frac1{\sqrt{n+k+1}+\sqrt{n+k}} <\frac1{2\sqrt{n+k}},$$ また $\sqrt{n+k}+\sqrt{n+k-1}<2\sqrt{n+k}$ だから $$\displaystyle \frac1{2\sqrt{n+k}} <\frac1{\sqrt{n+k}+\sqrt{n+k-1}} =\sqrt{n+k}-\sqrt{n+k-1}.$$ これらを $k=1$ から $L$ まで加えると、平方根の差では途中の項が打ち消し合い、両端の項だけが残る。したがって $$\displaystyle \sqrt{L+n+1}-\sqrt{n+1} <\frac12\sum\limits _{k=1}^{L}\frac1{\sqrt{k+n}} <\sqrt{L+n}-\sqrt n.$$

（3）$\displaystyle S_L(n)=\sum\limits _{k=1}^{L}1/\sqrt{k+n}$ とおく。各項が正なので $S_L(n)$ は $L$ が大きくなると必ず大きくなる。（2）の左側から $S_L(n)\to\infty$（$L\to\infty$）である。さらに $S_1(n)=1/\sqrt{n+1}<1<b$ だから、$S_L(n)<b$ となる自然数は少なくとも一つあり、その個数 $L_n$ は有限である。よって $$S_{L_n}(n)<b\le S_{L_n+1}(n).$$ （2）の左側を $L=L_n$ に適用すると $$\displaystyle \sqrt{n+L_n+1}-\sqrt{n+1}<\frac12S_{L_n}(n)<\frac b2,$$ したがって $L_n<b\sqrt{n+1}+b^2/4$。一方、（2）の右側を $L=L_n+1$ に適用すると $$\displaystyle \frac b2\le\frac12S_{L_n+1}(n)<\sqrt{n+L_n+1}-\sqrt n,$$ よって $L_n>b\sqrt n+b^2/4-1$。両辺を $\sqrt n$ で割ると $$\displaystyle b+\frac{b^2/4-1}{\sqrt n} <\frac{L_n}{\sqrt n} <b\sqrt{1+\frac1n}+\frac{b^2}{4\sqrt n}.$$ 左右の端はともに $b$ に収束するので、はさみうちの原理より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{L_n}{\sqrt n}=b.$$

(1) 有理化して収束量を取り出す。(2) 隣り合う平方根差を有理化し、各項を上下からはさむ。(3) 和の単調性・発散性と境界 S_{L_n}<b≦S_{L_n+1} を用いて$L_n$を二側評価し、はさみうちする。