I横浜市立大学 2025年 数学 第I問解答・解説

(1) 分母の条件は $x\ne2,1,-4$ である。すべての項を左辺に移すと $$\displaystyle \frac1{(x-2)(x-1)}+\frac5{(x-1)(x+4)}+\frac65=0.$$ 最初の2項をまとめ、$x\ne1$ を用いると $$\displaystyle \frac6{(x-2)(x+4)}+\frac65=0.$$ 従って $$(x-2)(x+4)=-5,\qquad (x+3)(x-1)=0.$$ 候補 $x=1$ は定義域から除き、$x=-3$ は元の式を満たす。よって解は $x=-3$。

(2) 漸化式を初項から足し上げると $$\displaystyle a_n=1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}3^{k-1} =1+\frac{3^{n-1}-1}{3-1} =\frac{3^{n-1}+1}{2}\qquad(n\ge1).$$

(3) $t=x+1$ とおくと $t>1$ であり、与式は $t+4/t^2$ となる。ここで $$\displaystyle t+\frac4{t^2}-3 =\frac{(t-2)^2(t+1)}{t^2}\ge0.$$ 等号は $t=2$、すなわち $x=1$ で成り立つので、最小値は $3$。

(4) 各項は $$\displaystyle \frac1{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}} =\frac1{\sqrt{k}}-\frac1{\sqrt{k+1}}$$ と書ける。従って和は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\left(\frac1{\sqrt{k}}-\frac1{\sqrt{k+1}}\right) =1-\frac1{\sqrt{n+1}}.$$ この値が有理数であることは $\sqrt{n+1}$ が有理数であることと同値である。整数 $m>0$ について $\sqrt m=p/q$（互いに素な正整数 $p,q$）なら $p^2=mq^2$ であり、$q>1$ ならその素因数が $p$ も割って矛盾する。従って $q=1$ であり、$m$ は平方数である。よって $n+1$ が平方数でなければならない。$n\ge100$ のもとで最小の平方数は $121=11^2$ だから、求める最小値は $$\boxed{n=120}.$$