10長崎大学 2026年 数学 第10問解答・解説

(1) $f'(x)=24x^2-6=6(2x-1)(2x+1)$ だから、臨界点は $\displaystyle x=\pm\frac12$ である。導関数の符号は、$\displaystyle x<-\frac12$ で正、$\displaystyle -\frac12<x<\frac12$ で負、$\displaystyle x>\frac12$ で正。したがって $$\displaystyle f\!\left(-\frac12\right)=3,\qquad f\!\left(\frac12\right)=-1$$ より極大値は $3$、極小値は $-1$。

また $\displaystyle f(-1)=-1,\ f(-\frac12)=3,\ f(\frac12)=-1,\ f(1)=3$。三つの単調区間と中間値の定理から、三つの範囲 $\displaystyle -1<x<-\frac12$、$\displaystyle -\frac12<x<\frac12$、$\displaystyle \frac12<x<1$ のそれぞれに方程式 $f(x)=0$ の解がちょうど1個ずつある。従って異なる3根はすべて $-1$ より大きく $1$ より小さい。

(2) 方程式を8で割ると $\displaystyle x^3-\frac34x+\frac18=0$。解と係数の関係から $$\displaystyle s_1=\alpha+\beta+\gamma=0,\quad s_2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-\frac34,\quad s_3=\alpha\beta\gamma=-\frac18.$$ よって $$\displaystyle \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=s_1^2-2s_2=\frac32,$$ $$\displaystyle \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=s_1^3-3s_1s_2+3s_3=-\frac38.$$

(3) (1)より$\alpha,\beta,\gamma$ のいずれの根 $r$ も $|r|<1$。したがって各等比級数が収束し、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^{n}(\alpha^k+\beta^k+\gamma^k) =\sum\limits _{r=\alpha,\beta,\gamma}\frac{r}{1-r}.$$ 通分した分母は $$\displaystyle \prod\limits _{r=\alpha,\beta,\gamma}(1-r)=1-s_1+s_2-s_3=\frac38,$$ 分子は $$\displaystyle \alpha(1-\beta)(1-\gamma)+\beta(1-\gamma)(1-\alpha)+\gamma(1-\alpha)(1-\beta) =s_1-2s_2+3s_3=\frac98.$$ よって極限は $\displaystyle \frac{9/8}{3/8}=3$。

(4) $h(p)=(p-\alpha)(p-\beta)(p-\gamma)$ とおくと、距離の積は $g(p)=|h(p)|$。解と係数の関係を使えば $$\displaystyle h(p)=p^3-\frac34p+\frac18,\qquad h'(p)=3p^2-\frac34.$$ $h'$ の零点は $\displaystyle \pm\frac12$ であり、問題の範囲 $-1\le p\le1$ の端点と合わせた値は $$\displaystyle h(-1)=-\frac18,\quad h\!\left(-\frac12\right)=\frac38,\quad h\!\left(\frac12\right)=-\frac18,\quad h(1)=\frac38.$$ 増減とこれらの値から $\displaystyle -\frac18\leq h(p)\leq\frac38$。また根 $\alpha$ は $-1\le\alpha\le1$ を満たすため $g(\alpha)=0$。よって $$\displaystyle 0\leq g(p)\leq\frac38.$$