11長崎大学 2026年 数学 第11問解答・解説

(1) 時計回りに角 $\theta$ 回転したとき、ベクトル $(u,v)$ は $(u\cos\theta+v\sin\theta,-u\sin\theta+v\cos\theta)$ となる。初めの $\overrightarrow{AB}=(0,2)$、$\overrightarrow{AC}=(-1,1)$ と、与えられた $A=(\theta-\sin\theta,1-\cos\theta)$ を使うと $$B=(\theta+\sin\theta,1+\cos\theta),\qquad C=(\theta-\cos\theta,1+\sin\theta).$$ $D=(\theta,1)$ なので、$\theta=\pi$ では $$A_1=(\pi,2),\quad B_1=(\pi,0),\quad C_1=(\pi+1,1),\quad D_1=(\pi,1).$$

(2) $A,B$ の軌跡の媒介変数をそれぞれ $(x_A,y_A),(x_B,y_B)$ と書く。$0<\theta<\pi$ では $dx_A/d\theta=1-\cos\theta>0$、$dx_B/d\theta=1+\cos\theta>0$ だから、接線の傾きは $$\displaystyle \frac{dy_A}{dx_A}=\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=\cot\frac\theta2, \qquad \frac{dy_B}{dx_B}=-\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=-\tan\frac\theta2.$$ この積は $-1$ なので2本の接線は垂直である。

(3) $q=\tan(\theta/2)>0$ とおく。半角の公式で接線の傾きは $1/q,-q$。接点の座標を代入すると $$\displaystyle l_1:\ y=2+\frac{x-\theta}{q},\qquad l_2:\ y=2-q(x-\theta).$$ 両式を等しくすると $(q+1/q)(x-\theta)=0$ だから $x=\theta$、$y=2$。したがって $P=(\theta,2)$ であり、$P$ は直線 $y=2$ 上の $0<x<\pi$ の部分を動く。

(4) $\theta=\pi$ の後、まず $B$ を支点に $\alpha\ (0\le\alpha\le\pi/4)$ 回転し、次に $C$ を支点に $\beta\ (0\le\beta\le\pi/2)$ 回転する。最後に $A$ を支点に $\pi/4$ 回転すると初めの向きに戻る。$A$ の最終座標と他の点の座標は $$A_2=(\pi+2\sqrt2,0),\quad B_2=(\pi+2\sqrt2,2),\quad C_2=(\pi+2\sqrt2-1,1),\quad D_2=(\pi+2\sqrt2,1).$$ 面積は $A$ の軌跡の3区間に分ける。半円周上では $x=\theta-\sin\theta, y=1-\cos\theta$。$B$ 支点回転では $A=(\pi+2\sin\alpha,2\cos\alpha)$、$C$ 支点回転では $A=(\pi+\sqrt2+\sqrt2\sin\beta,\sqrt2\cos\beta)$。各区間で $x$ は増加し、最後の $A$ 支点回転では $y=0$ なので、その区間の面積寄与は0である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^\pi(1-\cos\theta)^2\,d\theta +\int_0^{\pi/4}4\cos^2\alpha\,d\alpha +\int_0^{\pi/2}2\cos^2\beta\,d\beta\\ &=\frac{3\pi}{2}+\left(\frac\pi2+1\right)+\frac\pi2 =1+\frac{5\pi}{2}. \end{aligned}$$