5山形大学 2024年 数学 第5問解答・解説

Classification: PASS. This source-based supplement reviews adopted answer F14 against the source and accepted comparison B14. It is not a claim of a fresh blind independent answer. All mathematical results are correct; the F14 answer body is retained.

(1)(i) 極形式 $z=x+iy$ とおくと $$z-\overline z+i=i(2y+1),\qquad z+\overline z-i=2x-i$$ だから、$w=(y+1/2)(1+2ix)$。与えられた点では $$\displaystyle w=\frac{\sqrt3}{2}(1+i)=\sqrt{\frac32}\left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right)$$ となり、偏角 $\pi/4$ は指定範囲内にある。

(1)(ii) 円周上での絶対値 円の条件は $x^2+(y+1/2)^2=1$ である。$u=y+1/2,\ t=x^2$ とおくと $0\le t\le1$ であり、 $$\displaystyle |w|^2=u^2(1+4x^2)=(1-t)(1+4t)=\frac{25}{16}-4\left(t-\frac38\right)^2.$$ 最大値は $t=3/8$ のとき $25/16$、最小値は $t=1$ のとき0。どちらも円周上で実現するので、$\displaystyle \max|w|=5/4,\ \min|w|=0$。

(2)(i) $f$ の最小値 $f'(x)=1+2\cos x=0$ となる点は $x=2\pi/3,4\pi/3$。両端の値と比べると、最小値は $f(0)=0$。

(2)(ii) 不定積分 $$\displaystyle \int (x+2\sin x)\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x+x-\frac12\sin2x+C.$$ これはB14の $\displaystyle x(1-\cos x)+\sin x-\frac12\sin2x+C$ と同じ式である。

(2)(iii) 積分を含む方程式 $\displaystyle c=\frac18\int_0^{2\pi}|g(t)\sin t|dt\ge0$ とおくと、$g=f+c$。指定範囲で $f\ge0$ なので、絶対値は $g(t)|\sin t|$ と書ける。積分範囲を分けて計算すると $$\displaystyle A=\int_0^{2\pi}f(t)|\sin t|dt=4\pi,\qquad \int_0^{2\pi}|\sin t|dt=4.$$ よって $8c=A+4c$、従って $c=\pi$ である。この値は元の方程式を満たし、$c$ の方程式から一意に定まる。したがって連続関数の解は $$g(x)=x+2\sin x+\pi$$ だけである。

Disposition All F14 answers agree with the source and B14. The proof of the integral equation explicitly uses $c\ge0$ and $f\ge0$. No mathematical issue remains. Recommend display-tag additions for the circle condition, quadratic extrema, trigonometric behavior/integration, and definite integral; do not change the F14 body or overwrite its original tags.