山形大学 2024年数学第4問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

山形大学2024年度第4問

自然数 n に対して, $\sqrt{n}$ の整数部分を $a_{n}$ とし $(n-a_{n}^{2})^{2}$ を $b_{n}$ とする. 数列 $\{b_{n}\}$ の初項から第 n 項までの和を $S_{n}$ とする. このとき, 次の問に答えよ.

(1) $S_{10}$ を求めよ.

(2) 自然数 k に対して $a_{n}=k$ を満たす n の最大値と最小値を k を用いて表せ.

(3) 自然数 k に対して $n = k^{2}$ のとき, $S_{n}$ を k を用いて表せ.

(4) $S_{n}=7000$ のとき, n を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

平方根の整数部分が一定となる平方区間ごとにnをk^2+rと表し、b_nを平方数の列として部分和を計算する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle S_{10}=36,\quad k^2\le n\le k^2+2k,\quad S_{k^2}=\frac{k(k-1)(4k^2-1)}{6},\quad S_n=7000\Longrightarrow n=114$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$a_n=k$ 、すなわち $k^2\le n<(k+1)^2$ 。したがって $n=k^2+r\quad(0\le r\le2k)$ とおくと $b_n=r^2$ 。

(1) $(b_1,\ldots,b_{10})=(0,1,4,0,1,4,9,16,0,1),\qquad S_{10}=36.$

(2) $k^2\le n\le(k+1)^2-1=k^2+2k.$ よって最小値は $k^2$ 、最大値は $k^2+2k$ 。

(3) $\displaystyle \begin{aligned} S_{k^2} &=\sum\limits _{j=1}^{k-1}\sum\limits _{r=0}^{2j}r^2 =\sum\limits _{j=1}^{k-1}\frac{2j(2j+1)(4j+1)}{6}\\ &=\sum\limits _{j=1}^{k-1}\left(\frac83j^3+2j^2+\frac13j\right) =\frac{k(k-1)(4k^2-1)}{6}. \end{aligned}$

(4) $S_{10^2}=5985<7000<8855=S_{11^2}.$ よって $n=100+r\quad(1\le r\le20)$ 。 $\displaystyle 7000-5985=1015=\sum\limits _{i=1}^{14}i^2=\frac{14\cdot15\cdot29}{6}.$ 部分和は $r\ge1$ で正の項を加えるたびに大きくなるので $r=14,\ n=114$ 。

この問題で使う考え方

総和記号と数列の和

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。