東京医科大学／2024年度／一般

東京医科大学 2024年数学第1問解答・解説

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1問題

東京医科大学2024年度第1問

解答上の共通注意：問題文中のア、イウなどの空欄には特に指示のない限り整数値が入る。ア、イ、ウ、…の一つ一つは符号（−）または数字（0〜9）のいずれか一つに対応する。分数形で解答する場合はそれ以上約分できない形とし、分数の符号は分子につける。

第1問次の各問いに答えよ。ただし、答は結果のみを解答欄に記入せよ。

(1) 5進法で表された循環小数 $x=4.\dot{3}\dot{2}_{(5)}$ を10進法の分数で表すと、 $\displaystyle x=\frac{\boxed{\text{アイウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}$ である。

(2) $\displaystyle\sum\limits _{n=3}^{15}\frac{1}{{}_n C_3}=\frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

(3) $i$ を虚数単位とし、偏角 $\theta$ は $0\leq\theta<2\pi$ の範囲で考える。

$\alpha=\sqrt{6}-\sqrt{2}i,\quad\beta=5+5i$ のとき、 $\alpha\beta$ の偏角は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}\pi$ であり、 $(\alpha\beta)^{2024}$ の偏角は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}\pi$ である。

(4) $f(x)=xe^x\ (x>0)$ の逆関数を $g(x)$ とする。 $\displaystyle a=\frac{\sqrt{e}}{2}$ とすれば、 $\displaystyle g(a)=\frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}},\qquad g'(a)=\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{e}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

循環小数と二項係数和は既知の表示と差の形を使い、複素数の偏角は加法、逆関数の導関数は合成関数の微分から求めた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1)\space{}\dfrac{113}{24}$
$\displaystyle (2)\space{}\dfrac{52}{35}$
$\displaystyle (3)\space{}\arg(\alpha\beta)=\dfrac{\pi}{12},\space{}\arg((\alpha\beta)^{2024})=\dfrac{2\pi}{3}$
$\displaystyle (4)\space{}g(a)=\dfrac12,\space{}g^{\prime}(a)=\dfrac{2}{3\sqrt e}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 循環節の値は $32_{(5)}=3\cdot5+2=17$ である。したがって $\displaystyle 0.\dot{3}\dot{2}_{(5)}=\frac{17}{5^2-1}=\frac{17}{24},\qquad x=4+\frac{17}{24}=\frac{113}{24}.$

(2) $n\ge3$ に対して $\displaystyle \frac1{{}_nC_3}=\frac{6}{n(n-1)(n-2)}=\frac32\left(\frac1{{}_{n-1}C_2}-\frac1{{}_nC_2}\right)$ であるから、和は望ましい形に消去され、 $\displaystyle \sum\limits _{n=3}^{15}\frac1{{}_nC_3}=\frac32\left(\frac1{{}_2C_2}-\frac1{{}_{15}C_2}\right)=\frac32\left(1-\frac1{105}\right)=\frac{52}{35}.$

(3) $\alpha$ は第4象限にあり、 $\tan\arg\alpha=-\sqrt{2/6}=-1/\sqrt3$ より、 $0\le\theta<2\pi$ での偏角は $11\pi/6$ である。また $\beta=5+5i$ の偏角は $\pi/4$ である。よって $\displaystyle \arg(\alpha\beta)=\frac{11\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{25\pi}{12}\equiv\frac{\pi}{12}\pmod{2\pi}.$ 積の偏角を2024倍すると $2024\cdot\pi/12=506\pi/3$ であり、 $2\pi$ を法として $2\pi/3$ となる。

(4) $f'(x)=e^x(x+1)>0\ (x>0)$ なので逆関数が定まり、 $f(1/2)=\sqrt e/2=a$ から $g(a)=1/2$ である。恒等式 $f(g(y))=y$ を微分すると $f'(g(y))g'(y)=1$ だから、 $\displaystyle g'(a)=\frac1{f'(1/2)}=\frac1{(3/2)\sqrt e}=\frac{2}{3\sqrt e}.$

この問題で使う考え方

二進法・位取り記数法
組合せ
総和記号と数列の和
階差・和の利用
ド・モアブルの定理
複素数の極形式
合成関数の微分
合成関数と逆関数

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