1日本大学 2009年 数学 第1問解答・解説

(1) 循環小数を $u=1.2\overline{38}=1.2383838\ldots$ とおくと $$1000u=1238.383838\ldots,\qquad 10u=12.383838\ldots.$$ 差をとって $990u=1226$ だから、 $$\displaystyle u=\frac{1226}{990}=\frac{613}{495}.$$

(2) 項を展開してまとめると $$(2x+y-2)(x-2y+1)=2x^2-2y^2-3xy+5y-2$$ である。よって因数分解は $(2x+y-2)(x-2y+1)$ である。

(3) 点 $(x_0,y_0)$ と直線 $Ax+By+C=0$ の距離は $\displaystyle \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ である。直線を $3x-4y-4=0$ と書くと $$\displaystyle \frac{|3\cdot2-4\cdot3-4|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{10}{5}=2.$$

(4) 加法定理から $$\displaystyle \sin\left(x+\frac\pi3\right)-\sin\left(x-\frac\pi3\right)=2\cos x\sin\frac\pi3=\sqrt3\cos x.$$ したがって $\displaystyle \cos x=\frac{3}{5\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{5}$ であり、 $$\displaystyle \cos2x=2\cos^2x-1=2\cdot\frac3{25}-1=-\frac{19}{25}.$$

(5) $t=3^x$ とおくと $t>0$ であり、方程式は $$t^3-3t^2+2=(t-1)(t^2-2t-2)=0$$ となる。$t=1$ は $x=0$ に対応する。二次式の根は $1\pm\sqrt3$ だが、$t>0$ より $t=1+\sqrt3$ のみを採用する。したがって求める解は $$x=\log_3(1+\sqrt3).$$

(6) 4個の玉の選び方は ${}_{14}C_4$ 通りである。白玉が3個以上となるのは、白3個・赤1個または白4個の場合なので $$\displaystyle \frac{{}_8C_3{}_6C_1+{}_8C_4}{{}_{14}C_4} =\frac{56\cdot6+70}{1001}=\frac{406}{1001}=\frac{58}{143}.$$

(7) ベクトルの成分から $$|t\vec a+\vec b|^2=(t+2)^2+(4-3t)^2=10t^2-20t+20=10\bigl((t-1)^2+1\bigr).$$ よってこの二乗は $t=1$ のとき最小値10をとるから、求める最小値は $\sqrt{10}$ である。

(8) $n\ge2$ では $$a_n=S_n-S_{n-1}=n^3+n^2+n-\bigl((n-1)^3+(n-1)^2+(n-1)\bigr)=3n^2-n+1.$$ また $n=1$ でも右辺は3で初項に一致する。したがって一般項は $$a_n=3n^2-n+1.$$