3日本大学 2009年 数学 第3問解答・解説

$x>0$ で $$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac1x\right)=\frac{0\cdot x-1\cdot1}{x^2}=-\frac1{x^2}$$ である。したがって、$\displaystyle A_n\left(n,\frac1n\right)$ における接線は $$\displaystyle l_n:\quad y-\frac1n=-\frac1{n^2}(x-n),\qquad y=-\frac{x}{n^2}+\frac2n$$ となる。同様に $$\displaystyle l_{n+1}:\quad y=-\frac{x}{(n+1)^2}+\frac2{n+1}$$ である。これらを連立すると $$\displaystyle \frac2n-\frac2{n+1}=x\left(\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}\right),$$ よって $$\displaystyle x=\frac{2n(n+1)}{2n+1},\qquad y=-\frac{x}{n^2}+\frac2n=\frac2{2n+1}.$$ したがって $$\displaystyle P_n\left(\frac{2n(n+1)}{2n+1},\frac2{2n+1}\right)$$ である。

次に、$A_nA_{n+1}$ と $A_nP_n$ の座標差は $$\displaystyle \overrightarrow{A_nA_{n+1}}=\left(1,-\frac1{n(n+1)}\right),\qquad \overrightarrow{A_nP_n}=\left(\frac{n}{2n+1},-\frac1{n(2n+1)}\right).$$ 座標による三角形の面積公式より $$\displaystyle S_n=\frac12\left|1\cdot\left(-\frac1{n(2n+1)}\right) -\left(-\frac1{n(n+1)}\right)\frac{n}{2n+1}\right| =\frac1{2n(n+1)(2n+1)}.$$ また、中点の $x$ 座標は $$\displaystyle c_n=\frac{n+(n+1)}2=\frac{2n+1}{2}$$ だから $$\displaystyle c_nS_n=\frac1{4n(n+1)}=\frac14\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right).$$ 第 $N$ 部分和は $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{N}c_nS_n=\frac14\left(1-\frac1{N+1}\right)$$ となり、$N\to\infty$ で $\displaystyle \frac14$ に収束する。よって求める無限級数の値は $\displaystyle \frac14$ である。

検算として、$n=1$ では $l_1:y=-x+2$、$l_2:y=-x/4+1$ となり、交点は $(4/3,2/3)$ で一般式と一致する。このとき $S_1=1/12$、$c_1S_1=1/8$ であり、部分和の式とも一致する。