筑波大学 2012年数学第2問解答・解説

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1問題

筑波大学2012年度第2問

曲線 $\displaystyle C: y = \frac{1}{x + 2} (x > -2)$ を考える。曲線 $C$ 上の点 $\displaystyle P_{1}(0, \frac{1}{2})$ における接線を $\ell_{1}$ とし, $\ell_{1}$ と $x$ 軸との交点を $Q_{1}$ , 点 $Q_{1}$ を通り $x$ 軸と垂直な直線と曲線 $C$ との交点を $P_{2}$ とおく。以下同様に, 自然数 $n(n \geq 2)$ に対して, 点 $P_{n}$ における接線を $\ell_{n}$ とし, $\ell_{n}$ と $x$ 軸との交点を $Q_{n}$ , 点 $Q_{n}$ を通り $x$ 軸と垂直な直線と曲線 $C$ との交点を $P_{n+1}$ とおく。

(1) $\ell_{1}$ の方程式を求めよ。

(2) $P_{n}$ の x 座標を $x_{n}(n \geq 1)$ とする。 $x_{n+1}$ を $x_{n}$ を用いて表し, $x_{n}$ を n を用いて表せ。

(3) $\ell_{n}$ ，x 軸，y 軸で囲まれる三角形の面積 $S_{n}$ を求め， $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_{n}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \ell_1:\ y=-\frac{x}{4}+\frac12$ 。
(2) $x_{n+1}=2x_n+2,\quad x_n=2^n-2\quad(n\ge1)$ 。
(3) $\displaystyle S_n=2(1-2^{-n})^2,\quad\lim\limits _{n\to\infty}S_n=2$ 。
$\displaystyle (1)\quad \ell_1:\space{}y=-\frac{x}{4}+\frac12.$
$(2)\quad x_{n+1}=2x_n+2,\quad x_n=2^n-2\space{}(n\ge1).$
$\displaystyle (3)\quad S_n=2(1-2^{-n})^2,\quad \lim\limits _{n\to\infty}S_n=2.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

曲線 $C$ の $x=u$ における点は $(u,1/(u+2))$ 、傾きは $-1/(u+2)^2$ である。したがって接線は $\displaystyle y=\frac1{u+2}-\frac{x-u}{(u+2)^2}.$

(1) $P_1=(0,1/2)$ なので、 $\ell_1$ の傾きは $-1/4$ 。よって $\ell_1:y=-x/4+1/2$ 。

(2) $P_n$ での接線の $x$ 切片を $q_n$ とすると、上の式に $y=0$ を代入して $q_n=2x_n+2$ 。この縦線と $C$ の交点が $P_{n+1}$ だから $x_{n+1}=2x_n+2$ 。 $x_1=0$ より $x_{n+1}+2=2(x_n+2)$ 、したがって $x_n+2=2^n$ 、 $x_n=2^n-2$ 。

(3) $x_n+2=2^n$ を接線式に代入すると $\displaystyle \ell_n:y=-\frac{x}{4^n}+\frac{2^{n+1}-2}{4^n}.$ その $x$ 切片と $y$ 切片はいずれも $(2^{n+1}-2)/4^n$ の分子を用いて、それぞれ $2^{n+1}-2$ と $(2^{n+1}-2)/4^n$ である。ゆえに $\displaystyle S_n=\frac12(2^{n+1}-2)\frac{2^{n+1}-2}{4^n}=2(1-2^{-n})^2, \qquad \lim\limits _{n\to\infty}S_n=2.$

この問題で使う考え方

商の微分
曲線の接線
漸化式
等比数列の一般項と和
三角比による面積
数列の極限

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