5筑波大学 2012年 数学 第5問解答・解説

(1) $A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ を代入すると、右上成分から $\sin\theta(1-2\cos\theta)=0$。範囲より $\sin\theta>0$ なので $\cos\theta=1/2$、従って $$\displaystyle \theta=\frac\pi3,\qquad A=\begin{pmatrix}\frac12&-\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2}&\frac12\end{pmatrix}.$$ (2) 傾きmの直線への反射行列は $\displaystyle \frac1{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2&2m\\2m&m^2-1\end{pmatrix}$。よって $$\displaystyle B=\begin{pmatrix}-\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2}&\frac12\end{pmatrix}.$$ (3) 反射は二乗すると単位行列なので $C=B^{-1}A=BA$。積を計算すると $$\displaystyle C=\begin{pmatrix}\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\end{pmatrix}.$$ これを傾きkの反射行列と比較すると $\displaystyle \frac{1-k^2}{1+k^2}=\frac12$ および $\displaystyle \frac{2k}{1+k^2}=\frac{\sqrt3}{2}$。前式から $k^2=1/3$、後式からk>0。従って $k=1/\sqrt3$。

回転行列の成分を比較して角を決めた。直線 $y=mx$ への反射は単位方向ベクトルを用いて行列化できる。$BC=A$ から $B^2=E$ を使い $C=BA$ とし、反射行列の成分比較で $k$ を決定した。