I横浜市立大学 2012年 数学 第I問解答・解説

(1) r=√(a²+x²) とおく。a>0 より r−x>0 なので対数の中身は正である。 $$\displaystyle f'(x)=\frac{x/r-1}{r-x}=-\frac1r=-\frac1{\sqrt{a^2+x^2}}.$$ さらに微分して $f''(x)=x(a^2+x^2)^{-3/2}$、$f'''(x)=(a^2-2x^2)(a^2+x^2)^{-5/2}$。したがって f(0)=log a、f'(0)=−1/a、f''(0)=0、f'''(0)=1/a³ であり、指定された式は log a−x/a+x³/(6a³)。

(2-i) y=sin x の接線の傾きは cos a だから、法線の傾きは −1/cos a。P(a,sin a) を通る法線に y=0 を代入すると Q=(a+sin a cos a,0)。直径PQの円の点X=(x,y)は、XPとXQが垂直なので (x−a)(x−x_Q)+(y−sin a)y=0 を満たす。x軸上で y=0 とすれば x=a または x=x_Q となるため、Q以外の交点は R=(a,0)。よって QR=sin a cos a、高さは sin a で、S(a)=1/2 sin²a cos a。

(2-ii) 微分すると $\displaystyle S'(a)=\frac12\sin a(2-3\sin^2 a)$。区間 0<a<π/2 では sin a>0 なので、sin²a<2/3 で増加、sin²a>2/3 で減少する。唯一の臨界点 a=arcsin√(2/3) で最大となる。そこで cos a=1/√3 だから S_max=1/2·2/3·1/√3=1/(3√3)。

(3-i) 第m群は 1/m, 2/(m−1), …, m/1 である。q/p がこの群にあるとき、分子が群内の位置なので q番目であり、分母と分子の和が m+1、すなわち $m=p+q-1$。第m群より前には 1+2+…+(m−1)=m(m−1)/2 個ある。したがって全体で第 m(m−1)/2+q 項、つまり第 (p+q−1)(p+q−2)/2+q 項である。

(3-ii) 第13群までの項数は 13·14/2=91、第14群まででは 14·15/2=105。よって第100項は第14群の100−91=9番目。第14群は 1/14, 2/13, …, 9/6, … と並ぶので a₁₀₀=9/6（約分しない）。

(4) u=(3,2)^T、v=(1,1)^T とおく。与えられた条件は Au=v、Av=u であり、Aの線形性から A(2u−v)=2v−u が成り立つ。初めに (5,3)^T=2u−v なので、Aを1回作用させるごとにこの形の係数が入れ替わる。偶数回後は 2u−v=(5,3)^T、奇数回後は 2v−u=(−1,0)^T。したがって答えは n の偶奇で上記のとおり。

(5) s=AB=AC とおく。二等辺三角形の底角は (π−π/5)/2=2π/5。BQは角Bの二等分線なので ∠ABQ=π/5、また QはAC上にあるので ∠BAQ=π/5。よって三角形ABQで AQ=BQ、∠AQB=3π/5。A,Q,Cは一直線上であるから ∠BQC=π−3π/5=2π/5。一方 ∠BCQ=∠BCA=2π/5 なので、三角形BQCは二等辺で BQ=BC=1。したがって AQ=1。角の二等分線の定理から AQ/QC=AB/BC=s なので QC=1/s。一方 AC=AQ+QC=s より s=1+1/s、すなわち $s^2-s-1=0$。s>0 から s=(1+√5)/2。最後に余弦定理を使うと 1=BC²=2s²(1−cos(π/5))=4s²sin²(π/10)。sin(π/10)>0 だから sin(π/10)=1/(2s)=1/(1+√5)=(√5−1)/4。