横浜市立大学 2012年数学第III問解答・解説

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1問題

横浜市立大学2012年度第III問

$f(x)$ を区間 $[0,\infty)$ 上の連続関数とする。この区間上の $f(x)$ の積分を $\displaystyle \int_0^\infty f(x)\,dx=\lim\limits _{R\to\infty}\int_0^R f(x)\,dx$ とおく。以下の問いに答えよ。

(1) $\alpha,\beta$ を正の定数として，積分 $\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+\alpha x)(1+\beta x)}\,dx$ を求めよ。

(2) $a,b,c$ を相異なる正の定数として，積分 $\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)}\,dx$ を（結果の表示を簡潔にするため） $\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)}\,dx=A\log a+B\log b+C\log c$ とおく。 $A,B,C$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$α≠β: ln(β/α)/(β-α); α=β: 1/α$
(2)
$A=a/((a-b)(a-c)), B=b/((b-a)(b-c)), C=c/((c-a)(c-b))$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\alpha\ne\beta$ のとき $\displaystyle \frac1{(1+\alpha x)(1+\beta x)} =\frac{\alpha}{\alpha-\beta}\frac1{1+\alpha x} +\frac{\beta}{\beta-\alpha}\frac1{1+\beta x}.$ $R$ まで積分すると $\displaystyle \frac{\log(1+\beta R)-\log(1+\alpha R)}{\beta-\alpha} \longrightarrow \boxed{\frac{\log(\beta/\alpha)}{\beta-\alpha}}.$ $\alpha=\beta$ なら $\displaystyle \int_0^R(1+\alpha x)^{-2}dx\to\boxed{1/\alpha}$ 。

(2) $a,b,c$ は相異なるので $\displaystyle \frac1{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} =\frac{P}{1+ax}+\frac{Q}{1+bx}+\frac{T}{1+cx},$ ただし代入して $\displaystyle P=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)},\quad Q=\frac{b^2}{(b-a)(b-c)},\quad T=\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}.$ 積分後の $\log a,\log b,\log c$ の係数は、それぞれ $P/a,Q/b,T/c$ である。さらに $P/a+Q/b+T/c=0$ なので $\log R$ の項は消える。従って問題の記法では $\displaystyle \boxed{A=\frac{a}{(a-b)(a-c)},\quad B=\frac{b}{(b-a)(b-c)},\quad C=\frac{c}{(c-a)(c-b)}}.$

この問題で使う考え方

有限上端Rでの部分分数積分
対数項の極限整理

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