4神戸大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1)　 三角関数の積分を計算すると $$\displaystyle \int_0^\pi\cos x\,dx=0,\qquad \int_0^\pi\cos^2x\,dx=\frac\pi2,\qquad \int_0^\pi\cos^3x\,dx=0.$$ 最後の等式は $\cos^3x=\cos x(1-\sin^2x)$ と置換 $u=\sin x$ から得られる。$f(x)=a\cos x+b$ を展開すれば $$\displaystyle \int_0^\pi f(x)\,dx=\pi b,\qquad \int_0^\pi f(x)^3\,dx=\pi\left(\frac32a^2b+b^3\right).$$ これを条件式に代入して整理すると $$\displaystyle b^3+\left(\frac32a^2-1\right)b+\frac14=0.$$

(2)　 $b>0$ とする。(1)の式を $b$ で割ると $$\displaystyle a^2=\frac23\left(1-b^2-\frac1{4b}\right).$$ $\displaystyle H(b)=b^2+\frac1{4b}$ とおくと $$\displaystyle H(b)-\frac34=\frac{(2b-1)^2(b+1)}{4b}\ge0.$$ 従って $\displaystyle H(b)\ge\frac34$ であり、$\displaystyle a^2=\frac23(1-H(b))\ge0$ であるためには $\displaystyle a^2\le\frac16$ が必要である。すなわち $$\displaystyle -\frac1{\sqrt6}\le a\le\frac1{\sqrt6}.$$ 逆にこの範囲では $\displaystyle R=1-\frac32a^2$ とおくと $\displaystyle \frac34\le R\le1$。関数Hは$\displaystyle \frac12\le b\le1$ の範囲で連続で、$\displaystyle H(\frac12)=\frac34$、$\displaystyle H(1)=\frac54$ であるから、中間値の定理により $H(b)=R$ となる $\displaystyle \frac12\le b\le1$ を満たす $b$ が存在する。このbは正で、上の関係式を満たす。よって必要十分条件は $$\displaystyle \boxed{-\frac1{\sqrt6}\le a\le\frac1{\sqrt6}}.$$

$\displaystyle \int\cos x=\int\cos^3x=0,\quad \int\cos^2x=\frac{\pi}{2}$から条件は $\displaystyle b^3+(\frac32a^2-1)b+\frac14=0$。$b>0$なら$\displaystyle a^2=\frac23(1-H(b))$, $\displaystyle H(b)=b^2+\frac1{4b}$。$\displaystyle H(b)-\frac34=\frac{(2b-1)^2(b+1)}{4b}\ge0$なので存在には$\displaystyle a^2\le\frac16$が必要。逆にその範囲では$\displaystyle \frac34\le1-\frac32a^2\le1$であり、Hは$\displaystyle \frac12\le b\le1$の範囲で連続、端の値$\displaystyle \frac34,\frac54$なので中間値の定理で正のbが存在する。