神戸大学 2013年数学第2問解答・解説

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1問題

神戸大学2013年度第2問

$p,r$ を $-r<p<r$ をみたす実数とする。4点 $P(p,p^{2}), Q(r,p^{2}), R(r,r^{2}), S(p,r^{2})$ に対し，線分 $PR$ の長さは1であるとする。このとき，長方形 $PQRS$ の面積の最大値と，そのときの $P,R$ の $x$ 座標をそれぞれ求めよ。（配点30点）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

面積最大値 $\displaystyle \frac12$ 。等号時 $\displaystyle p=\frac{2-\sqrt2}{4}$ , $\displaystyle r=\frac{2+\sqrt2}{4}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

a=r−p、b=r²−p²=a(r+p) と置く。条件からa,b>0かつa²+b²=1。したがってab≦(a²+b²)/2=1/2で、等号にはa=bが必要十分。a=bよりr+p=1、これとr−p=1/√2から指定のp,rが得られ、制約を満たす。

既存A016の幅a=r−p、縦b=r²−p²の置き方と等号条件を原文で実質点検。制約からa,b>0、PR=1はa²+b²=1、よって面積ab≦1/2。等号a=bからr+p=1、r−p=1/√2となり、p=(2−√2)/4, r=(2+√2)/4。候補は制約と対角線条件を満たすため最大値が達成。current authorの論証と一致。

この問題で使う考え方

三平方の定理
(a−b)²≥0を用いた積の最大化
等号条件の連立

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