3神戸大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1) $f(0)=0$なので$f(x)=ax^2+bx$とおく。$f(1)=-1$より$a+b=-1$。また$f(c)=c^3-2c$と$c>0$より$ac+b=c^2-2$。差をとると $$a(c-1)=(c-1)(c+1).$$ $c<1$より$\boxed{a=c+1,\ b=-c-2}$。従って$\boxed{f(x)=(c+1)x^2-(c+2)x}$。 (2) $g(x)=x^3-2x$とおくと $$f(x)-g(x)=-x(x-c)(x-1).$$ 差は$0<x<c$で負、$c<x<1$で正。原始関数を $$\displaystyle H(x)=-\frac{x^4}{4}+\frac{(c+1)x^3}{3}-\frac{cx^2}{2}$$ とすれば、求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned}S&=-\int_0^c(f-g)dx+\int_c^1(f-g)dx=H(1)-2H(c)\\ &=\frac{1-2c}{12}-\frac{c^4-2c^3}{6} =\boxed{\frac{1-2c+4c^3-2c^4}{12}}. \end{aligned}$$ (3) $c$で微分して $$\displaystyle S'(c)=-\frac{(2c-1)(2c^2-2c-1)}6.$$ $0<c<1$では$2c^2-2c-1=2c(c-1)-1<0$。従って$S'$は$c<1/2$で負、$c>1/2$で正。ゆえに最小となるのは$\boxed{c=1/2}$で、このとき$S=1/32$。