東北大学 2014年数学第6問解答・解説

指数関数・対数関数微分法極限いろいろな式数列

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1問題

東北大学2014年度第6問

以下の問いに答えよ。

(1) n を自然数, a を正の定数として,

$f (x) = (n + 1) \{\log (a + x) - \log (n + 1) \} - n (\log a - \log n) - \log x$

とおく。x > 0 における関数 $f(x)$ の極値を求めよ。ただし，対数は自然対数とする。

(2) n が 2 以上の自然数のとき, 次の不等式が成り立つことを示せ。

$\displaystyle \frac {1}{n} \sum\limits _ {k = 1} ^ {n} \frac {k + 1}{k} > (n + 1) ^ {\frac {1}{n}}$

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle x=\frac an$ で最小値 $0$ 。最大値はない。(2) 成立。左辺 $\displaystyle \frac1n\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}$ は相加平均、右辺 $(n+1)^{1/n}$ は積が $n+1$ である正数列の相乗平均で、項がすべて等しくないため不等号は厳密。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $a>0,n\ge1$ を固定して微分すると $\displaystyle f'(x)=\frac{n+1}{a+x}-\frac1x=\frac{nx-a}{x(a+x)}.$ $x>0$ で分母は正なので、 $x=a/n$ まで減少し以後増加する。代入から $f(a/n)=0$ 。また $x\to0+$ と $x\to+\infty$ の両端で $f(x)\to+\infty$ 。従って最小値は0、最大値はない。

(2) (1)に $n=m,a=mu,x=v$ を代入すると、正数 $u,v$ に対して $\displaystyle \frac{mu+v}{m+1}\ge(u^mv)^{1/(m+1)}.$ この不等式を用いた帰納法で一般の正数 $z_1,\ldots,z_n$ に対する相加平均・相乗平均不等式を得る。 $z_k=(k+1)/k$ とすれば $\displaystyle \prod\limits _{k=1}^n z_k=n+1$ 。 $n\ge2$ では項は等しくないので $\displaystyle \frac1n\sum\limits _{k=1}^n\frac{k+1}{k}>(n+1)^{1/n}.$

対数関数の導関数で増減と両端の発散を確認。第1問から重み付きAM-GMを導き、帰納法で一般化後、積が望む値に望遠積する数列へ適用した。

この問題で使う考え方

導関数の符号
端点極限
帰納法によるAM-GM

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