東北大学 2014年数学第4問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

東北大学2014年度第4問

不等式 $1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4$ が表す $xy$ 平面内の領域を $D$ とする。P を円 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上の点，Q と R を円 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上の異なる 2 点とし，三角形 PQR は領域 $D$ に含まれているとする。 $a, b$ を実数とし，行列 $A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ の表す 1 次変換により P は P'，Q は Q'，R は R' に移されるとする。このとき，三角形 P'Q'R' が領域 $D$ に含まれるための $a, b$ の必要十分条件を求めよ。ただし，三角形は内部も含めて考えるものとする。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

必要十分条件
$a^2+b^2=1$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$X=(x,y)$ の像を $X'=(x',y')$ とすると $x'=ax-by,\qquad y'=bx+ay,$ したがって $x'^2+y'^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2).$ $s=a^2+b^2$ とおく。像の三角形が領域 $D=\{(x,y):1\le x^2+y^2\le4\}$ に含まれるなら、頂点P',Q'もDに含まれる。Pの二乗距離は1なので $1\le s\le4$ 。Qの二乗距離は4なので $1\le4s\le4$ 、すなわち $1/4\le s\le1$ 。両条件から $s=1$ 。

逆に $s=1$ なら、すべての点で $x'^2+y'^2=x^2+y^2$ となり、変換は原点からの距離を保つ。もとの三角形の各点はDに含まれるから、その像の各点もDに含まれる。よって必要十分条件は $\boxed{a^2+b^2=1}.$

この問題で使う考え方

行列変換による距離の計算
必要条件と十分条件

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。