3金沢大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1) c=$\displaystyle \dfrac{\sqrt2}{3}$とおくと， $$P^2=\begin{pmatrix}x^2+c^2&c(x+y)\\c(x+y)&y^2+c^2\end{pmatrix}。$$ $P^2=P$より $$\displaystyle x^2-x+\frac29=0,\qquad y^2-y+\frac29=0,\qquad x+y=1。$$ 前二式はそれぞれ$\displaystyle (t-\frac13)(t-\frac23)=0$と因数分解できる。これと$x+y=1$を合わせると $$\displaystyle (x,y)=\left(\frac13,\frac23\right),\quad \left(\frac23,\frac13\right)。$$ したがって$x_1<x_2$より $$\displaystyle P_1=\begin{pmatrix}\frac13&\frac{\sqrt2}{3}\\\frac{\sqrt2}{3}&\frac23\end{pmatrix},\qquad P_2=\begin{pmatrix}\frac23&\frac{\sqrt2}{3}\\\frac{\sqrt2}{3}&\frac13\end{pmatrix}。$$

(2) $\displaystyle u_1=\left(\frac1{\sqrt3},\sqrt{\frac23}\right)^T,\quad u_2=\left(\sqrt{\frac23},\frac1{\sqrt3}\right)^T$ とおくと，成分を確かめて$P_1=u_1u_1^{\mathsf T}$，$P_2=u_2u_2^{\mathsf T}$となる。また $$\displaystyle u_1^{\mathsf T}u_1=u_2^{\mathsf T}u_2=1,\qquad \rho=u_1^{\mathsf T}u_2=\frac{2\sqrt2}{3}。$$ 列ベクトルの成分を直接掛けると $$\displaystyle P_1P_2P_1=u_1(u_1^{\mathsf T}u_2)(u_2^{\mathsf T}u_1)u_1^{\mathsf T} =\rho^2P_1=\frac89P_1。$$ よって$n=1$で$\displaystyle (P_1P_2)^nP_1=(\frac89)^nP_1$である。これが$n$で成り立つとき $$\displaystyle (P_1P_2)^{n+1}P_1=(P_1P_2)^n(P_1P_2P_1) =\frac89(P_1P_2)^nP_1=(\frac89)^{n+1}P_1。$$ したがって$\displaystyle r_n=(\frac89)^n$。

(3) $Q_j=u_{i_j}u_{i_j}^{\mathsf T}$（$i_j$ は $1$ または $2$）とし，$i_1=1$とする。隣り合う添字が等しければ内積は$1$，異なれば$\rho$である。5か所の隣接箇所のうち$k$か所で添字が切り替わると，積を成分でまとめて $$P_1Q_2Q_3Q_4Q_5Q_6=\rho^k u_1u_{i_6}^{\mathsf T}$$ となる。始めは添字1なので，最後も1なら$k=0,2,4$，最後が2なら$k=1,3,5$である。各場合の$k$は5か所から切替位置を選べば実現できる。よって最後が1のときは$\displaystyle P_1,\frac89P_1,\frac{64}{81}P_1$の3個，最後が2のときは$\rho u_1u_2^{\mathsf T},\rho^3u_1u_2^{\mathsf T},\rho^5u_1u_2^{\mathsf T}$の3個を得る。$0<\rho<1$より各組内では相異なる。また$P_1$は対称行列だが$u_1u_2^{\mathsf T}$は対称行列でないため，二組の行列は比例せず一致しない。したがって異なる行列は合計$6$個。