4金沢大学 2014年 数学 第4問解答・解説

群 $k$ には $1,2,\ldots,k$ の順に玉が並び、第$k$群までの玉の総数は $$\displaystyle T_k=1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}2$$ である。

(1) 数$100$は第$100$群で初めて現れ、この群の最後の玉に書かれている。直前の群までの玉は $$\displaystyle T_{99}=\frac{99\cdot100}{2}=4950$$ 個だから、求める番号は $$T_{99}+100=4950+100=\boxed{5050}.$$ 一般に数$k$の初出位置は、第$k$群の末尾、すなわち $T_{k-1}+k=k(k-1)/2+k=T_k$ 番目である。

(2) $n\ge1$ に対して $$\displaystyle T_{2n-1}=\frac{(2n-1)(2n)}2=2n^2-n<2n^2, \qquad T_{2n}=\frac{(2n)(2n+1)}2=2n^2+n.$$ したがって $2n^2$ 番目の玉は第$2n$群にある。その群の先頭からの位置は $$2n^2-T_{2n-1}=n$$ なので、そこに書かれた数は $\boxed{n}$ である。

(3) 先頭 $2n^2$ 個は第1群から第$2n-1$群までの全玉と、第$2n$群の先頭 $n$ 個である。数$r$の玉の個数を $c_r$ とする。完全な群では数$r$は第$r$群から第$2n-1$群に1回ずつ現れ、最後の部分群には数$1$から数$n$までが1個ずつ加わる。よって $$c_r=\begin{cases} 2n-r+1,&1\le r\le n,\\ 2n-r,&n+1\le r\le2n-1,\\ 0,&r=2n. \end{cases}$$ この個数のうち正のものは $1,2,\ldots,n-1,n+1,\ldots,2n$ が各1回ずつである。同じ数の玉を2個選ぶ組数は $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{r=1}^{2n}\binom{c_r}{2} &=\sum\limits _{k=1}^{2n}\binom{k}{2}-\binom{n}{2}\\ &=\binom{2n+1}{3}-\binom{n}{2}\\ &=\frac{n(8n^2-3n+1)}6. \end{aligned}$$ 全ての2個の取り出し方は、袋の $2n^2$ 個の玉から2個を選ぶので $$\displaystyle \binom{2n^2}{2}=n^2(2n^2-1)$$ 通りである。したがって確率は $$\displaystyle \boxed{\frac{\binom{2n+1}{3}-\binom{n}{2}}{\binom{2n^2}{2}} =\frac{8n^2-3n+1}{6n(2n^2-1)}}.$$