5広島大学 2014年 数学 第5問解答・解説

サイコロ2回の結果 $(j,k)$ は順序つきで $36$ 通りあり、すべて同様に確からしい。

正六角形の中心を $O$ とする。中心角は $60^\circ$ であり、$OP_i=1$ なので、頂点間の距離は、1辺隔てて $1$、2辺隔てて余弦定理より $\sqrt{1^2+1^2-2\cos120^\circ}=\sqrt3$、向かい合う頂点間で $2$ である。$2\le j<k\le6$ の各組について、三角形の辺の長さと面積を分類すると $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c} \{j,k\} & \text{三角形の辺の長さ} & S\\\hline \{2,3\},\{2,6\},\{5,6\} & 1,1,\sqrt3 & \frac{\sqrt3}{4}\\ \{2,4\},\{2,5\},\{3,4\},\{3,6\},\{4,5\},\{4,6\} & 1,\sqrt3,2 & \frac{\sqrt3}{2}\\ \{3,5\} & \sqrt3,\sqrt3,\sqrt3 & \frac{3\sqrt3}{4} \end{array}$$ となる。第1行は底辺を $\sqrt3$ とすると高さが $1/2$ の二等辺三角形、第2行は $1^2+(\sqrt3)^2=2^2$ の直角三角形、第3行は一辺 $\sqrt3$ の正三角形である。

(1) $S>0$ となるのは $j,k$ が $2,3,4,5,6$ の中から異なる数であるときで、順序つきで $5\cdot4=20$ 通り。従って確率は $$\displaystyle \frac{20}{36}=\frac59.$$

(2) 最大面積は第3行の $3\sqrt3/4$ で、$\{j,k\}=\{3,5\}$ の場合だけである。順序つきでは2通りだから確率は $$\displaystyle \frac2{36}=\frac1{18}.$$

(3) 各順序なしの組には2通りの順序があり、他の結果では $S=0$ なので $$\displaystyle E[S]=\frac2{36}\left(3\cdot\frac{\sqrt3}{4}+6\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{3\sqrt3}{4}\right)=\frac{\sqrt3}{4}.$$