4広島大学 2014年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\quad n=1\text{では}a_1=\alpha>1\text{である。}a_n>1\text{と仮定すると、}a_n+1>0\text{かつ}2a_n>a_n+1\text{だから、}\frac{2a_n}{a_n+1}>1\text{である。したがって}a_{n+1}=\sqrt{\frac{2a_n}{a_n+1}}>1\text{となる。よって数学的帰納法により、すべての正整数}n\text{について}a_n>1\text{である。}\quad \text{(2)}\quad x\geq0\text{より}\sqrt{x}\text{が定まり、}\frac12(x-1)-(\sqrt{x}-1)=\frac12(\sqrt{x}-1)^2\geq0\text{である。よって}\sqrt{x}-1\leq\frac12(x-1)\text{である。等号は}x=1\text{のとき成立する。}\quad \text{(3)}\quad \text{(1)より}a_n>1\text{なので、}x=\frac{2a_n}{a_n+1}>0\text{に(2)を適用できる。漸化式から}\begin{aligned}a_{n+1}-1&=\sqrt{\frac{2a_n}{a_n+1}}-1\\&\leq\frac12\left(\frac{2a_n}{a_n+1}-1\right)\\&=\frac{a_n-1}{2(a_n+1)}\\&\leq\frac14(a_n-1),\end{aligned}\text{ここで最後の不等式は}a_n+1>2\text{かつ}a_n-1>0\text{による。}n=1\text{では}a_1-1=\alpha-1\text{である。}a_n-1\leq\left(\frac14\right)^{n-1}(\alpha-1)\text{と仮定すると、}\begin{aligned}a_{n+1}-1&\leq\frac14(a_n-1)\\&\leq\left(\frac14\right)^n(\alpha-1).\end{aligned}\text{したがって数学的帰納法により、すべての正整数}n\text{について}a_n-1\leq\left(\frac14\right)^{n-1}(\alpha-1)\text{である。}$$