3香川大学 2024年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\quad n=1\text{ のとき }a_1+b_1\sqrt{5}=2+\sqrt{5}\text{ である。}\sqrt{5}\text{ は無理数なので係数を比較して }a_1=2,\ b_1=1\text{ となり、}\ a_1-b_1\sqrt{5}=2-\sqrt{5}\text{ を得る。} \text{また、定義式から、すべての }n\geq 1\text{ について} \begin{aligned} a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{5} &=(2+\sqrt{5})(a_n+b_n\sqrt{5})\\ &=(2a_n+5b_n)+(a_n+2b_n)\sqrt{5}. \end{aligned} \text{係数を比較すると} \qquad a_{n+1}=2a_n+5b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n. \text{ここで }a_n-b_n\sqrt{5}=(2-\sqrt{5})^n\text{ と仮定すれば、} \begin{aligned} a_{n+1}-b_{n+1}\sqrt{5} &=(2a_n+5b_n)-(a_n+2b_n)\sqrt{5}\\ &=(2-\sqrt{5})(a_n-b_n\sqrt{5})\\ &=(2-\sqrt{5})^{n+1}. \end{aligned} \text{以上より数学的帰納法によって、すべての自然数 }n\text{ について成り立つ。} \text{(2) 定義式と (1) の等式を加え、また引くと} \qquad 2a_n=(2+\sqrt{5})^n+(2-\sqrt{5})^n,\quad 2b_n\sqrt{5}=(2+\sqrt{5})^n-(2-\sqrt{5})^n. \text{したがって、 }r=\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}\text{ とおけば} \qquad \frac{a_n}{b_n}=\sqrt{5}\,\frac{1+r^n}{1-r^n}. \text{ }2<\sqrt{5}<3\text{ より }|2-\sqrt{5}|<1\text{ かつ }2+\sqrt{5}>1\text{ なので }|r|<1\text{ である。よって }r^n\to 0\text{ となり、} \qquad \lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\sqrt{5}\,\frac{1+0}{1-0}=\sqrt{5}.$$